liczby Z6

^o^Oprz^żenie i moduł liczby zespolonej___

2.2. Sprzężenie i moduł liczby zespolonej

Okazuj? się, że także przy wyznaczaniu ilorazu dwóch liczb zespolonych w postaci kanonicznej nie trzeba pamiętać wzoru (2.15). W zamian warto skorzystać „.jasności sprzężeń liczb zespolonych.

Definicja 2.2.1. Sprzężeniem liczby zespolonej 2 = a+bj (gdzie a i 6 są liczbami rzeczywistymi) nazywamy liczbę

z = a- bj.

Przykładowo, jeśli z = 2 + 5j, to jej sprzężeniem jest z = 2 - 5j. Geometrycznie z jest symetrycznym odbiciem z względem osi rzeczywistej (zob. rys. 2.4). Inne własności sprzężenia podajemy w następnym twierdzeniu (zob. także tw. 2.2.2 (a)).

Twierdzenie 2.2.1. Jeśli z i w są liczbami zespolonymi, to:

(a)    z + w = z + w, z - w = z - w;

(b)    zw = źw. z/w = z/w (gdy w £ 0);

(c)    dla każdej liczby całkowitej n jest (zⁿ) = (z)ⁿ (z / 0, gdy n < 0);

(d)    z jest liczbą rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy z = z.

Dodatkowo, jeśli z = a + bj (gdzie a, b € R), to

(e)    z + ź = 2fi, z — z = 2bj i zz = a² + b².

Dowód. Udowodnimy pierwszą część własności (b). Dowody pozostałych własności są równie łatwe. Załóżmy, że z = a + bj i w = c 4- dj, gdzie a, b, c i d są liczbami rzeczywistymi. Wtedy

z w — (o + bj) (c 4- dj) = (a — bj)(c — dj) = (ac — bd) — (ad + bc)j — (ac - bd) + (ad + bc)j — (a + bj)(c + dj) = Tw. □

oraz z umiejętności mnożenia liczb zespolonych i dzielenia liczby zespolonej przez liczbę rzeczywistą.

Przykład 18. Znaleźć postać kanoniczną liczby (1 + 5j)/(3 + 2j). Wobec poprzednich uwag marny

!± 5j _ (1 + 5j)(3 - 2j) 3 — 2j + 15j - 10j² _ 13 + 13j _ 3 + 2j (3 + 2j)(3 - 2j) ~    9- 4j²    13

Geometryczną relację między liczbami z i w oraz ich iloczynem zw (oraz ilorazem można opisać w terminach modułu i argumentu liczby zespolonej.

Definicja 2.2.2. Modułem (lub wielkością) liczby zespolonej z = a + bj (gdzie ^a- ^>J - nazywamy tueujemną liczbę rzeczywistą

(2.17) Moduł liczby zespolonej

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
4. DEFINICJA Wartością bezwzględną liczby x € R nazywamy liczbę
liczby Z1 362. Liczby zespolone; Wniosek 2.6.1. Dla liczb zespolonych z = ze3* i w = we3Xi> oraz
liczby Z2 Rozdział 2LICZBY zespolone2.1. Liczby zespolone i działania na liczbach zespolonych Niech
liczby Z3 2. Liczby zespolone Dowód, (a) i (6). Z przemieńności i łączności zwykłego dodawania licz
liczby Z4 21 2 i Lir/by zospoloin* i działania na liczbach zespolonych Począwszy od tego miejsca dz
liczby Z5 22 2. Liczby zespolone Dowód. Łatwo zauważyć. » *. M, — * - W) — <“>■ «*«• <“>
liczby Z7 2. Liczby zespolono,    .    n,bi jest odległością pun
liczby Z8 25 25 Postać trygonometryczna liczby zespolonej Przykład 21. Na płaszczyźnie zesoolnn • n
liczby Z
0 .) j pnstać trygonometryczna liczby zespolonej Obie te obserwacje pozwalają uzasadnić pop
liczby Z
1 28 2. Liczby zespolone; _ ( _ *)) ) = /2 (cos -f j sin Ifi). = 26 ( cos 7rr + j sin ^7r)
liczby Z
2 ^^pierwiastkowanie liczb zespolonych__ 4. pierwiastkowanie liczb zespolonych Definicja 2.
liczby Z
3 Pierwiastki z jedności 2krc . . 2/ctr ek = cos--h J sin (2.29) n n dla k = 0, 1, .... n-1
liczby Z
4 f 9J. Pierwiastkowanie liczb    ______ pierwiastki stopnia drufęieeo » i-
liczby Z
5 2. Liczby zcsi • nv jeszcze jeden sposób wyznaczania ,v k0,ej„ym twiertamiu P^^^onej. W t
liczby Z
6 33 2.5. Wzory Eulera, j„d 36. Rozwiązać równanie x2 - (2 4- j)x + (-1 + 7j) = 0. przyKI p
liczby Z
7 2. Liczby zespolone 34 Dodaj,c lub odejmując stronami równości (2.39) i (2.40), otrzymuje
liczby Z
9 36 2. Liczby zespolone Wniosek 2.6.1. Dla liczb zespolonych z =
liczby Z9 26 26 n(z). Argument każdej go argumentem głównym liczby z i oznaczam   
liczby Z
8 35 o fi Postać wykładnicza liczby zespolonej Dowód. Udowodnimy tylko pierwszą równość. Dw

więcej podobnych podstron