II zestaw zadań z matematyki IS I/semestr I

1. Rozwiązać następujące równania i nierówności:

(a)

(b)

+

.3,

l+logx    3—!ogx

log₅125x - logi yjx < 3,

(c)    log₃ 4- log^3 X -f logJ_ X < 8,

(d)    log,, 3\/3 - 1,25 = (log,. a/3)²,

(e)    3 sin x = 2 cos² x,

9sin²£ _ 2^{cos2 x} = 1

(g)    3(tg x - l)² < 4 - 6tg x,

(h)    2¹~¹°S2^X+¹°g2^X-^lo62^X + - — y/2.

(i)    2^sinx 4- 4^sinx + 8^sinx + ... < 1.

2. Obliczyć granice ciągów

, .    5n² — 371

(aj lim -

2?i³ 4- 3n² - 3

on — 1

lim ₀    ,

a->oo 377/    §

____ ___ 2?r — \f\n² -f 3

(b) lim (y/inT 2 — y/4n - 2), lim (V4n 4- 5 — V~9n — 1), lim —    ■.-------,

^v ' n-Kx>^v    J n-+oo'    ⁿ n->cc    _ 3_n'

lim

n-+oo 10??,² — n — 2 ' n^oo — 77, _}_ 2

(c) lim

2 -f ( + 12 -4- . . . 4" (5Tl ~ 3)

4- 3

lim

o clog₅(3n-:}

n—>oo 3 -(_ 7 + 11 + ... 4- (4ti — l)

,3_4ⁿ - 1

(d) lim (4)ⁿ----lim ~~

V. )    „    O ) Cn ,    1 ⁵ n .Ann / 1

(i)10g₈<

nf 1)

l°g₂ Vⁿ T lun :-——. lim

6ⁿ 4- 1 ’ ⁿ (|)¹°g3'/4+T ’ logie ^n->0° | ~ \ 4- • • - + \ ■ (~y)^{n 1}

je) lim (■

1

1

(f) lim (—

Tl—^co ^v

2

4~

\AP^r+2

2

+ ...4-

1

y/n² 4- n

),

■    y8)i³ 4- 2    8n³ 4- 3

\z^rSn³ 4- n 4 1

(g) lim

,nⁿ 4- 2^

n—>co U 3ⁿ 4- 6ⁿ T) —yoc

—,    lim (VnTT    - Vn)    sin 7i,    lim (7 (y)ⁿ    4- (y)ⁿ,

ln’    n~>oc^V    V '    ’    n->oo \/^V9' W ’

5-2n². 3

(h) lim (14-—)³ⁿ, iim(“—y)⁵ⁿ, lim ( ^v '    Ti'    3n4-2^y    «->°o^v3 —2n²

2'    ' ^v3

)t^7vi, lim n[ln(4n4-5)—ln(4n—3)].

n—> oo '    ' ' n-ł-oo gfl 2    n—>oo • 3 — 271^ '    n—>00

3.    Określić dziedzinę, przeciwdziedzinę oraz narysować wykres funkcji / danej wzorem:

/(z) = z² - 6.x- 4- 8, /(z) =    -³, /(z) = log(z -1)4-2, /(z) = sin 2x.

x — 2

4.    Narysować wykres funkcji / o /. gdzie /(x) — 1 — |x|.

5.    Podać przykład funkcji okresowej o okresie podstawowym równym 5.