Matematyka 2 5
34 I Geomelna atialtty czna w przestrzeni
jA,x-t-B,y+C,z+D, =0, [A ,x + B2y-fC\z+D2 =0
Równania (3.3) nazywamy równaniami krawędziowymi prostej /.
Uwaga Wektor r=l,i.b.cl równoległy do prostej / danej równaniami krawędziowymi (3.3) jest równoległy do każdej ? płaszczyzn rt, i n:. wiec r Xr,Ił,.C,7. rl[A1.U..C2].
a 2ateni możemy przyjąć
(3.4)
h -
?=l».b.c] =(A,.n,.C1]»lAj.Bj.C.J.
Sląd wynika, ze współczynniki kierunkowe a, b. c prostej danej równaniami krawędziowymi (3.3ł wyrażają się wzorami
|
c, |
A. 1 |
1 A, |
c,i |
1 A, |
b, |
|
A,l" |
1 A; |
C: \ |
c |a, |
B. |
PRZYKŁAD 3.2. Napiszemy równania parametryczne prostej / danej równaniami krawędziowymi
m /J2x-3y-3z=0,
{l) |x-6y-6z + 9 = 0.
I sposób Należy znaleźć dowolny punkt P,*(x0,yyłz0)€/ i wektor r=fa.b.c]||/ Aby wyznaczyć punkt Pn prostej / trzeba znaleźć dowolne trzy liczby xt y. z spełniające układ równań (I). Przyjmując x - 0 w równaniach (11 otrzymujemy układ sprzeczny
y+z=0,
\2y+2z=3,
co oznacza, ze do prostej / nic należy punkt, którego współrzędna x 0.1 Przyjmijmy więc y = 0 Wówczas z równań krawędziowych (l) prostej I otrzymamy układ równań
12x -3z = 0,
1 x -6z+9=0,
którego rozwiązaniem jest para liczb x - 3. z = 2. Zatem punkt P0 (3,0,2) należy do prostej /.
Wektor [a.b.c] równoległy do prostej / jest równoległy do płaszczyzn ii, : 2x-3y-3z = 0, tt2: x-6y-6/ + 9 = 0; spełnia więc warunki
[a,b.cl 1 [2,-3, 3], [a,b,cj 111,-6.-6].
Możemy zatem przyjąć
1 a.b.c] = [2.-3,-3| x [ I. -6, -6] = [0,9,-91.
Prosta / ma równania parametryczne
/: x = 3, y=9t, z=2-9it teR.
Współczynniki kierunkowe a, bt c prostej / można oczywiście obliczyć korzy stając bezpośrednio ze wzorów (3.4):
II sposób. Przyjmijmy np. y = t, teR Z równań krawędziowych prostej / otrzymujemy układ dwu równań liniowych
2x-3t-3z=0, x-ót-6z + 9 = 0.
Z tego układu otrzy mujemy X = 3, z = 2 - t, a zatem /: x = 3, y = t, z-2-l, teR.
Otrzymaliśmy lutuj inne niż poprzednio równania parametryczne tej samej prostej / (zob. również uwagę po przykładzie 3.1). B
Wzajemne położenie dwu prostych w przestrzeni Położenie dwu prostych w przestrzeni będziemy rozpatry wać ze względu na kat między' tyrmi prosty mi.
Przypomnijmy. 2c miara kipu między prostymi jest lie/l>4 / przedziału
< O.k/2 >
TWIERDZENIE 3.2 Załóżmy, że proste /, ii2 maju równania parametryczne
A: y=yó + btl- leR-
z=z.;,+c,t,
0)
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Matematyka 2 5 24 I Geometria analityczna »v przestrzeni n±n, o [A.B.C] 1 [2,-3,1), nln2 [A,B,C]_L
Matematyka 2 3 42 I Geometrio anality czna u przestrzeni Z warunków zadania mamy: :r
Matematyka 2 1 10 1 Geometrio analityczna u przestrzeni S = ja
Matematyka 2 5 14 I Geometria analityczna u przestrzeni Z definicji iloczynu mieszanego wynikają n
Matematyka 2 5 54 I (ieiimćtrig analityczna w przestrzeni Niech kierownica K powierzchni walcowej
Matematyka 2 5 64 1 Geometria analityczna u przestrzeni 2. Wyznaczyć zbiór punkt
ZESTAWY ĆWICZEŃ DLA KLAS 1 3 PRZYRODA I MATEMATYKA 5 Wesołe miasteczko 4. Wpisz działania na wago
ZESTAWY ĆWICZEŃ DLA KLAS 1 3 PRZYRODA I MATEMATYKA 5 Wesołe miasteczko 4. Wpisz działania na wago
ZESTAWY ĆWICZEŃ DLA KLAS 1 3 PRZYRODA I MATEMATYKA 5 7. Pokoloruj papugę według podanego kodu. 8.
więcej podobnych podstron