Matematyka 2 31

330 V. Elementy rurhunku prawdopodobieństwa

3. ZMIENNE LOSOWE

POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ. W przykładach i zadani widzieliśmy, że zdarzenia elementarne w mogą mieć bardzo różnor naturę. W celu uwolnienia się od tej różnorodności "zastępuje sięⁿ \ę liczbami. Realizuje się to drogą wprowadzenia zmiennej losowej.

Zmienną losową (ZL) nazywa się funkcję o wartościach ze zbioru R liczb rzeczywistych, której dziedzmąjcst PZE ft. Innymi sio ZL, to odwzorowanie PZE Q w zbiór R liczb rzeczywii

ZL będziemy oznaczać dużymi literami X. Y, Z, a ich wart* (nazywane również realizacjami! X(w), Y(w), Z(w) odpowiednio małymi literami x, y , z.

Dodajmy, żc w pełnym wykiad/ic rachunku pr-siwa na funkcje, które nazwał' zmiennymi losowymi, nakłada się pewien warunek, który w rozważanych przez nas za-| gadmcniachjcM zawsze spełniony.

PRZYKŁAD 3.1 (c.d. przykładu 2.1). Pracownik obsłu trzy maszyny. W ciągu godziny każda z nich co najwyżej raz może magać interwencji pracownika. Niech ZL X oznacza liczbę maszyn, które w ciągu godziny wymagają interwencji pracownika. Mamy tu (zachowujemy oznaczenie z przykładu 2.1):

{co, =(0,0.0). co_a =(0,0.1). (o₃=(0.1,0). (u₄ =( 1,0,0), (o₅=(0,l,l),io₆=( 1.0,1), o,=(1,1.0). (o„=(l,U)}.

ZL X określona jest następująco:

X(oł,) = 0. X(u)_: ) = X((o₃)= X(to₄ )= 1,

X((o₅)=X(o)_fc) = X(co₇)=2, A(o>,)=3.

Tak więc ZL X przekształca PZE Q na zbiór liczbowy W = {0.1,2,3}.

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Niech będzie dana PP (O.^.P). Jeżeli X jest ZL, zaś A zbiorem na prostej, to relację X €A odczytujemy : "ZL X przyjmie wartość zc zbioru A" (a nie "X należy do A", bo przecież A nie jest zbiorem zmiennych losowych). W szczególności relacje: a<X<b, X<b, X=x₀odczytujemy odpowiednio: ZL X przyjmie wartość z przedziału (a,b). mniejszą od b, równą liczbie Xq.

Z tymi relacjami chcemy związać pr-stwo P ich realizacji (poprawniej byłoby oznaczyć to pr-stwo innym symbolem, np. P_x).

331

3 Zmienne lostnw

pnyjmujemy: ^

(3.1) P(XeA) = P(co: X((o)€A},

_cZyIi: pr-stwo P(XeA) przyjęcia przez ZL X wartości ze zbioru A. AcR. określamy jako pr-stwo zdarzenia |o>: X(co)eA). składającego się z tych zdarząń elementarnych oj , dla których ZL X przyjmuje warto-ści X(o>) ze zbioru A.

Jeżeli dla każdego zbioru AcR dane jest pr-stwo P(XeA)_t to mówimy, że dany jest rozkład pr-stwa ZL X.

PRZYKŁAD 3.2. W przykładzie 2.1 zbudowaliśmy PP (LLcAP) dla doświadczenia polegającego na obsłudze trzech maszyn. Z kolei w ostatnim przykładzie określiliśmy ZL X związaną z tym doświadczeniem Obecnie obliczymy pr-stwo przyjęcia przez ZL X poszczególnych wartości 0, I. 2, 3 oraz pr-stwo tego, żc “co najmniej dwie maszyny będą wymagać interwencji pracownika", czyli P(X>2). Zgodnie z definicją (3.1). mamy:

|>(X = 0) = P( |u),|) = 1/8, P(X = 1) = P( |(jJ₂.tu,.co₄}) = 3/8,

P(X = 2)=P(K.(a_A,u>₇}) = 3/8. P(X = 3) = P( {w_H})= 1/8,

P(X £ 2) = P( =4/8= 1/2. ■

ZMIENNE LOSOWE TYPU SKOKOWEGO Wyróżnia się dwa ważne typy zmiennych losowych: zmienne losowe typu skokowego (dyskretnego, ziarnistego) i zmienne typu ciągłego. Odpowiadające im rozkłady pr-stwa nazywa się również odpowiednio: rozkładami pr-stwa typu skokowego i rozkładami pr-stw^ra typu ciągłego. Dodajmy, że te dwu typy nie wyczerpują wszystkich możliwych typów- zmiennych losowych i ich rozkładów pr-stwa.

Wartość x, ZL X nazywa się punktem skokowym (lub ato-^mcni) ZI X. jeśli pr-stwo P(X=x,), oznaczane również, przez p, lub jest dodatnie:

P( X ⁼ X, ) 2 p( x,) s p, > 0.

Przy tym liczbę p, nazyw-a się skokiem ZL X w punkcie skokowym x, Punkty skokowe x, i skoki p, ZL X nazywa się również, punktami sk kowymi i skokami rozkładu pr-stwa ZL X