mechanika1 (podrecznik)2

zaznaczamy zorientowanym odcinkiem o długości równej kątowi, kierunek przyjmijmy prostopadły do płaszczyzny obrotu, zwrot prawoskrętny. Przejście od punktu A do Ą₂ jest możliwe bezpośrednio, a także pośrednio przez punkt A_t, dzięki dodaniu obrotu AA_l do obrotu A_LA₂. Z rysunku widać wyraźnie, że wektory obrotów OA" (wektor obrotu AA₂) i O A' (wektor obrotu /L4_X + A_lA₂) nie są w obydwu wypadkach równe, a więc obroty nie podlegają prawu dodawania wektorowego i nie można ich uważać za wektory.

1_3. Mnożenie wektorów przez liczbę

. def

b = a ■ m

W wyniku mnożenia wektora a przez liczbę m otrzymujemy wektor, którego:

1) moduł jest m razy większy |a • m\,

2) kierunek taki, jak wektora a,

3) zwrot jest zgodny z a dla m > 0 (rys 1.9), a przeciwny a dla m < 0. Stosują się tu prawa (li /r - dowolne liczby rzeczywiste):

a) łączności iloczynu wektora przez liczbę, zapisane w postaci

2(/ra) = (Xn)a,

b) rozdzielności iloczynu względem dodawania liczb

Rys. 1.9 (1 + fi)a = Xa + na-,

c) rozdzielności iloczynu względem dodawania wektorów

2(a + b) = Za + Ib.

Dzielenie wektora- przez liczbę sprowadza się do mnożenia wektora przez odwrotnbść tej liczby.

1.4. Miara wektora przy innym wektorze niezerowym jako jednostce

Jeśli mamy wektory a i b (niezerowy) równoległe, to przez miarę wektora a przy b jako jednostce nazywamy liczbę X, której wartość X = |a|/|ó| jest bądź dodatnia, jeśli a i b są zgodnie równoległe, bądź ujemna, jeśli a i b są niezgodnie równoległe. Nie ma sensu pojęcie miary wektora przy innym wektorze niezerowym jakcf jednostce dla wektorów nierównoległych. Wektory nierównoległe można porównać jedynie np. w sensie ich modułów.

15. Wektor jednostkowy

Jeżeli wektor a podzielimy przez jego moduł, to otrzymamy wektor a° o module równym jedności oraz kierunku i zwrocie takim samym, jak wektor a.

Wektor taki nazywa się wektorem jednostkowym danego wektora lub krócej - wersorem.

1.6. Układ wektorów

Niech będzie dane n wektorów: a_L,...,a„ i n liczb rzeczywistych X_L,...,X„. Wektor b równy

b = X_la_l + X₂a₂ + ... + X_na_n = £ X_ia_i

i=i

nazywamy agregatem wektorów a₁,...,a,.o współczynnikach X_l,...,X„. Agregat nazywa się niezerowym, jeżeli nie wszystkie współczynniki X_v..., X_n są równocześnie równe 0, tzn. jeśli

i # > o.

i = l

1.7. Liniowa zależność wektorów

Wektory 0^ a₂, a₃, ...,a„ nazywamy limowo zależnymi, jeżeli istnieje agregat niezerowy dający wektor zerowy.

Przypadki szczególne:

Jeśli dwa wektory a i b są liniowo niezależne, to istnieją liczby a i /i takie, że aa + Pb = 0 i a²+/?²>0.

Jeśli a 0, to

a więc wektory a i b są równoległe, czyli kolinearne.

Jeśli trzy wektory są liniowo zależne, to istnieją liczby a, fi, y, takie, że

aa + Pb+yc — 0 i a² + /?² + y²>0.