mechanika1 (podrecznik)0

2.6J. Siły wewnętrzne w belkach

W dowolnie pomyślanych przekrojach belki występują siły wewnętrzne, zastępujące działanie jednej części belki na drugą. Rozpatrzmy na przykład belkę w jednej płaszczyźnie, swobodnie podpartą (rys. 2.56).

W przekroju belki K-K działanie sił zewnętrznych części II na część I sprowadza się do działania zredukowanych do środka ciężkości przekroju K-K wektora głównego i momentu głównego sił działających na część II belki. Siły te nazywamy siłami wewnętrznymi dla części I belki w przekroju K-K. Zauważmy, że te siły wewnętrzne części I są równe co do modułu, lecz mają przeciwny zwrot, niż wektor główny i moment główny części II. ~

Siły wewnętrzne działające w danym przekroju wraz z siłami zewnętrznymi przyłożonymi do rozpatrywanej części belki, tworzą układ równoważny zeru.

W dowolnie pomyślanym przekroju belki działają zatem następujące siły wewnętrzne: moment, który będziemy nazywać zginającym (gnącym) M_g - prostopadły do płaszczyzny działania obciążeń oraz siła - leżąca w płaszczyźnie działania obciążeń, którą można rozłożyć na dwie składowe. Składowa prostopadła do osi belki nazywana jest siłą tnącą T, a składowa równoległa do osi belki - siłą normalną N.

Moment gnący M_g jest to suma momentów wszystkich sił działających po jednej stronie rozpatrywanego przekroju belki. ^vZnak momentu gnącego przyjmujemy według następującej umowy:

Siły działające pionowo do góry dają moment zginający dodatni bez względu na to, po której stronie przekroju belki moment jest wyznaczony (rys. 2.57). Dla takiej umowy dodatniemu momentowi zginającemu odpowiada rozciąganie włókien dolnej strony belki i ściskanie włókien górnej strony belki.

1‘©

i ®

A. j

Rys. 2.57

Rys. 2.58

Siła tnąca T jest sumą wszystkich sił prostopadłych od osi belki, działających po jednej stronie rozpatrywanego przekroju. Znak siły tnącej przyjmujemy według następującej umowy:

Za dodatnią uważamy sumę sił po lewej stronie przekroju, których wypadkowa będzie zwrócona ku górze; po prawej stronie przekroju należy, jako dodatni kierunek działania sił, przyjąć zwrot wypadkowej w dół (rys. 2.58).

Siła' normalna jest sumą wszystkich sił równoległych do osi belki, działających po jednej stronie rozpatrywanego przekroju.

2.6.4. Twierdzenia Szwedlera

Twierdzenia te podają związek różniczkowy między obciążeniami zewnętrznymi, a siłami wewnętrznymi w belce.

Rozpatrzmy element o długości dx, wycięty z belki (jak na rys. 2.59). Pisząc warunek momentów względem punktu O otrzymamy

M_g + q(x)dx— + Tdx + dTdx - M_g- dM_g — 0.

Po uproszczeniu i pominięciu wielkości małych drugiego rzędu

(2.19)

= T,

d M.

czyli pochodna momentu gnącego wzdłuż osi belki jest równa sile tnącej. Związek ten jest zwany I twierdzeniem Szwedlera.

Gdy napiszemy warunek rzutów na kierunek pionowy (rys. (2.59), otrzymamy

T - q(x)dx - T - dT = 0.

Wynika stąd, że

— = -q(x), (2.20)