mechanika1 (podrecznik)3

110

w której r_t jest wektorem o początku^-w punkcie 0, a końcu w punkcie zaczepienia i-tego wektora a_t. Względem innego dowolnie wybranego bieguna 0' moment wyraża się wzorem

M⁰' = M° + t (—r,₀ x «.).

ł=l

Po wprowadzeniu wersora a° dla tego układu wektorów otrzymuje się M° = £ r_; x a;a⁰ - f, r₀ x a,a° =

t = l i = 1

= Z - ^ro Z ^ai

1=1 \ 1=1

Niech punkt 0' będzie tak wybrany, że moment M° = 0. Obróćmy wektory

a₁,____,a_n o dowolny kąt a, otrzymując układ nowych równoległych wektorów

a\,...,a'_n, o modułach odpowiadających \vektorom a_v,.7.,a_n, (rys. 4.1). Dla tego układu wektorów, wersorem jest a^0ir, a moment względem 0 jest teraz

= Z ^ai(^ri ^xa°“) =

i = i

r_fa_f. x a

i— i

Możemy znowu znaleźć biegun 0" taki, że moment liczony względem niego będzie się równał zeru, a więc

M°" = M° + Z (~^rOa X fl'i) = ( Z ^ri^ai~^rOa Z “i) X a^0a = 0.

1 = 1 \i= 1 i = l /

Zażądajmy, żeby punkty 0' i 0" pokrywały się przy obrocie wektorów o dowolny kąt a. Będzie wówczas spełniona relacja

r₀ = roa

i przyrównanie M° do zera daje

^Ż ^ri^ai ~ ^ro* Ż ^a^j x a°“ = 0.

Wersor nigdy nie jest wersorem zerowym, więc jeśli ostatnia zależność ma być spełniona dla dowolnego kąta obrotu wektorów, to wektor w nawiasie będący agregatem wektorów r₀, r₁,...,r_n z współczynnikami niezależnymi od a, musi być równy zeru. Zatem

n n

Z ^ai^ri - ^ro Z ^ai = ⁰

i=l i= 1

Z ^ai^ri

(4.1)

^ro

i stąd

i = 1

Z««

Wektor r₀ wyznacza tu jednoznacznie pewien punkt dla układu stałych wektorów równoległych, który nazywa się środkiem układu tych wektorów. Jeśli wektory r₀ i r_;wyrazimy w postaci analitycznej jako

ro = x₀i + y₀j + z₀k oraz r, = x_ii + yj + z_;fc,

to otrzymamy następujące wyrażenia określające położenie środka układu wektorów równoległych

t^a i^xl	Z	Ż ^ai^zi
i = 1	v ⁱ= 1	1=1
TT »	y o n ■	"0 - R
	. z«.	Z»«
i = 1	i = 1	i- 1

W przypadku płaskiego Gkładu wektorów pozostają tylko dwie składowe x₀, y₀. Graficznie można znaleźć środek układu wektorów wykreślając, za pomocą wieloboku sznurowego, kierunek działania wypadkowej; powtarzając to dla układu wektorów obróconych, otrzymujemy kierunek działania drugiej wypadkowej. Na przecięciu kierunków działania wypadkowych leży szukany punkt A (rys. 4.2).