mechanika1 (podrecznik)5

114

(4.6)

Z ^mi^ri '0=^—•

Z m,

i = 1

Rozpisując wektor r₀ na poszczególne składowe, mamy

Z ^mi^x i

t = 1

n >

Z ^mi

y₀ =

Z "w ' Z ^m;^zi

i = 1

(4.7)

Z^mi

i widać od razu, że położenie środka masy wyraża się przez odpowiednie momenty statyczne układu punktów materialnych:

yo = —

(4.8)

Z ^mi

i- 1

Podobnie dla bryły materialnej położenie środka ciężkości jest opisane zależnością

jjjpdvr jjfpdvr

(4.9)

. _ M_ _ _

JJjpdy M

(o)

w której całkowanie rozciąga się na całą objętość bryły, a M jest masą całkowitą. Wyrażając ostatnią zależność dla poszczególnych składowych, możemy uzyskać związek (przykładowo dla składowej z-owej położenia masy):

z₀ • M = J[fpdyz = S_xy,

<»)

który prowadzi do następującego wniosku: środkiem masy ciała jest punkt 0, w którym skupiona jest cała masa ma względem dowolnej płaszczyzny moment statyczny równy momentowi statycznemu bryły.

Z fizyki pamiętamy, że każdej masie zim odpowiada na powierzchni Ziemi ciężar AQ. Relacja między nimi wynosi

AQ =g■Am,

gdzie g - jest wektorem przyciągania ziemskiego. Odpowiednikiem gęstości p jest ciężar właściwy c, gdzie c = g p. Po podzieleniu więc bryły na elementarne" masy, możemy powiedzieć, że ciężar bryły jest podzielony na elementarne siły równoległe. Te elementarne siły nie są wprawdzie zupełnie równolegle, lecz - praktycznie biorąc-

- błąd, jaki się tutaj popełnia jest pomijany, jeśli ciało jest małe w porównaniu do wymiarów Ziemi. Ciało poddane jest zatem działaniu sił równoległych. Można w prosty sposób sprawdzić, że środek układu tych sił pokrywa się ze środkiem masy i bywa też nazywany środkiem ciężkości ciała. We wszystkich powyższych wzorach wystarczy masę zastąpić symbolem ciężaru, a gęstość ciężarem właściwym, by słuszność ich przy liczeniu środka masy pozostawała nienaruszona.

Niektóre ciała mają jeden wymiar pomijalnie mały w porównaniu z pozostałymi. Dla tych ciał wprowadzamy pojęcie gęstości powierzchniowej

gdzie m - jest masą ciała, F - jego powierzchnią. Wzór ten jest prawidłowy dla ciał jednorodnych. Po zastąpieniu elementów objętości da elementami powierzchni dF, wzór na środek ciężkości będzie się wyrażać zależnością

J'\Pt '

(4.10)

_r - I£>_

°~ fffr-dF

(F)

w której przez całkę podwójną symbolicznie zaznaczono całkowanie po powierzchni F. Podobnie dla ciał o jednej rozciągłości dominującej wprowadza się pojęcie gęstości liniowej

w której l jest długością ciała jednorodnego. Środek ciężkości takiej liniowej bryły jest opisany wzorem

j p,rdl

r - Ul ^r0 ~ ■

(4.11)

I ftdz ’

. w którym całka jest symbolicznie zaznaczona w granicach rozciągłości linii. Dla linii, figur lub brył geometrycznych wprowadza się pojęcie środka ciężkości linii (figur, brył) przypisując linii (figurze, bryle) gęstość liniową (powierzchniową, objętościową) jej długość (powierzchnię, objętość) elementarną. Z podanych zależności i ich opisu wynika wiele twierdzeń, których tutaj nie będziemy dowodzić.

1. Jeżeli środek ciężkości leży na płaszczyźnie, to moment statyczny względem tej płaszczyzny jest równy zeru.

2. Jeżeli ciało ma płaszczyznę lub oś symetrii, to środek ciężkości leży na tym elemencie symetrii.

3. Położenie środka ciężkości względem ciała nie zależy od obrania układu współrzędnych, służącego do obliczeń rachunkowych.