pytania analiza

Wybrane zagadnienia z analizy matematycznej, III rok mat.

1. Zbieżność ciągów monotonicznych.

2. Twierdzenie o istnieniu granic jednostronnych funkcji monotonicznych.

3. Punkty nieciągłości funkcji monotonicznej na przedziale.

4. Twierdzenie Helly’ego o ciągu funkcji monotonicznych na przedziale (szkic dowodu)

5. Twierdzenie o przedstawieniu funkcji rosnącej w postaci sumy funkcji ciągłej i skokowej (szkic dowodu).

6. Funkcje o wahaniu skończonym: definicja, własności

7. Przykład funkcji ciągłej na [0,1] o wahaniu nieskończonym

8. Twierdzenie Helly’ego o ciągu funkcji o wahaniu skończonym (szkic dowodu)

9. Definicja całki Riemanna-Stieltjesa na przedziale [a,b] względem funkcji rosnącej

10. Sumy średnie Riemanna.

11. Związek całki oznaczonej (Riemanna) z różniczkowaniem

12. Całka Riemanna-Stieltjesa względem funkcji o wahaniu skończonym.

13. Pierwsze twierdzenie o wartości średniej dla całek

14. Całkowani^,vsAe przez części dla całek R-S

15. Całkowanie przez podstawienie.

16. Drugie twierdzenie o wartości średniej dla całek R-S

17. Przechodzenie do granicy pod znakiem całki

18. Twierdzenie Helly’ego o przechodzeniu do granicy w całce R-S.

19. Warunki równoważne ciągłości funkcji na przestrzeni metrycznej

20. Funkcje ciągłe na zbiorze zwartym.

21. Twierdzenie Bolzano o funkcji rzeczywistej ciągłej na zbiorze spójnym

22. Twierdzenie o zbieżności jednostajnej ciągu funkcji ciągłych.

23. Twierdzenie Diniego

24. Warunek Cauchy’ego jednostajnej zbieżności ciągu funkcyjnego

25. Twierdzenie Ascoliego

26. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Ascoliego

27. Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa

28. Granica górna i dolna funkcji.

29. Funkcje półciągłe- definicje, własności

30. Twierdzenie Baira.