SCN03

4.4.1. Własności macierzy odwrotnej

Jeżeli odpowiednie działania są wykonalne, to:

1. (A^Tr^l=(A-'f

2. (AB)^-1 ss B^-IA^-1

3. (A^-1)^-1 = A

Niech dowolna macierz A_mxn traktowana będzie jako następujący układ wierszy lub kolumn:

w₂

lub A_mxn ⁼ [k|, k2,.... k„]

Twierdzenie

Rząd układów wektorów kolumnowych i układu wektorów wierszowych dowolnej macierzy A_mxn są równe:

rz {ki, k_2>..., k„} =rz {W|,w₂,..., w_m}

Definicja

Rzędem macierzy A_mxn nazywamy rząd układu wektorów kolumnowych lub układu wektorów wierszowych tej macierzy.

Wnioski

1. Dla każdej macierzy A istnieje dokładnie jedna liczba „r” będąca jej rzędem oraz

r = rz A = rz {ki, k2,..., k„} = rz {wi, w?.....w_ra}

2. Dla każdej macierzy A_mXn zachodzi nierówność

rz A < min {m, nj

Czyli:

rząd każdej macierzy nie przekracza ani liczby wierszy, ani liczby kolumn tej macierzy.

3. Rząd każdej macierzy jest równy liczbie liniowo niezależnych kolumn lub wierszy tej macierzy.

Twierdzenie

Dla dowolnej macierzy kwadratowej A_mxn zachodzą równoważności:

1. |A|*0 <=> r = rz A = n

2. |A| = 0 $=> r = rz A < n

Wnioski

1. Rząd macierzy nieosobowej jest równy jej stopniowości.

2. Rząd macierzy osobliwej jest mniejszy od jej stopnia.