teoria4 2

Wektor zaczepiony ma: punkt zaczepienia, kierunek, zwrot, wartość.

Wektor swobodny to zbiór wektorów zaczepionych, które mają wspólny kierunek, zwrot i wartość.

Orientacja prawoskrętna i lewoskrętna układu współrzędnych

r-J

v ^ y

Wersory układu współrzędnych / = (1,0,0) = [1,0,0]

7 = (0,1,0) = [0,1,0] k = (0,0,1) = [0,0,1]

• Długość wektora: w = [x,y,z] to \ u | = yjx² + y² + z²Własności:

1. l«l^0 2. |w| = 0ow=0

3. |w+ v | = \u | + |v | 4. ja«| = |a||w|

• Iloczyn skalamy ii q v =1 ii I • I v 1 -coslD (ł?,v))

Jeśli u = 0vv = 0=>w°v = 0

Jeśli u = [*,,y,, z, ], v = [x₂, y₂, z₂ ] => u ° v = x,x₂ + y, y₂ + z,z₂Własności:

1. u°v = voQ 2. uou=\u\²

3. a (u °v) = (aw)°v 4. (w, + w₂)°v = w, °v + iZ₂ °v

5. «J_v<=>m°v = 0

• Iloczyn wektorowy pary wektorów (w, v) to w, który:

1. w i w a w 1 v 2. | vv 1=1 i71 -1 v|-sina sin(«) = — p =| u \ -h =| u \ ■ \ v | sin(a) =| vv|

3. Orientacja (u, v, w) jest zgodna z orientacją układu współrzędnych det(w, v, vv) > 0 Uwaga:

( ?

i J

Dla u =[x„y_l,z_l],v=[x₂,y₂,z₂\

w-uxv-

*1 *

,*2 *2

*pole trójkąta rozpiętego na wektorach u i v jest połową długości ich iloczynu wektorowego.

-=-y

(Ą=i|Sxv|)

Własności:

2. (u_l + «₂)x v =u_x x v + w₂ x v 3. (a-w)xv = a(»xv)

1. i7 x v = -v x w

4. ii || v <=> i7 x v = 0

• Iloczyn mieszany trójki wektorów w, v, w to (u, v, w) = (w x v) o w

dla i? = [x,,y,,z_l],v =[*₂,y₂,z₂],vv = [x₃,y₃,z₃]<=>(w,v,vv) = det

Własności:

1. (u,v,vv) = (vv,i7,v) 2. (i7,v,w) = -(v,M,>v) 3. (u_]+u₂,v,w) = (u_],v,w) + (u₂,v,w)

4. (w.v,w) = 0<=> leżą w jednej płaszczyźnie

♦wartość bezwzględna iloczynu mieszanego trójki wektorów jest równa objętości równoległościanu rozpiętego na tych wektorach. ( V =| (m,v,vv) | )