top15
27
$8. Zwartość
Wówczas bx = oo dla każdego .xeX, czyli ruch po trajektoriach w X trwa wiecznie. W szczególności na zwartej rozmaitości bez brzegu każde pole wektorowe jest globalnie całkowalne.^)
Lecz powróćmy do tematu. Przykładów na możliwość przejścia od „lokalności" do „globalności” można by podać znacznie więcej, nam wszakże chodziło jedynie o zilustrowanie użyteczności pojęcia zwartości.
Przykłady przestrzeni zwartych? Niepozornym, lecz bardzo ważnym przykładem. z którego wiele innych można otrzymać, jest domknięty przedział [0. 1], Wykażemy najpierw, że dla każdego otwartego pokrycia przedziału [0, I] istnieje > 0 („liczba l^ebesgueY’) taka, że każdy podprzedział o długości 5 zawiera się w jednym ze zbiorów pokrycia. Gdyby taka 6 nie istniała, wtedy dla każdego n £ 1 można by znaleźć podprzedział /„ c [0, 1] długości 1/n, nie zawierający się w żadnym spośród zbiorów pokrycia. Ciąg liczbowy, jaki tworzą środki przedziałów /„, zawiera zbieżny podciąg; jego granica xe[0, 1] należy do pewnego zbioru pokrycia. Wobec tego ten zbiór musi zawierać pewne /, z dostatecznie dużym n, co daje sprzeczność z założeniem. Z wykazanego faktu zwartość [0, 1] wynika bardzo łatwo; [0. 1] można pokryć skończoną liczbą przedziałów długości Ó, więc biorąc dla każdego z nich jeden z zawierających go zbiorów pokrycia, otrzymujemy skończone pod pokrycie. □
Stwierdzenie I. Ciągły obraz przestrzeni zwartej jest zwarty: jeśli X jest przestrzenią zwartą, a /: X -» Y jest ciągle, to f{X) jest zwartą podprzestrzenią Y.
Dowód. Niech {Ux}lf.A będzie otwartym pokryciemf{X). Wtedy {f~l(Vj)}MA jest otwartym pokryciem X, a więc X = f~l(L'Xt)u...uf~l(UXr) dla stosownie wybranych indeksów /.t. Stąd f(X)=* U Xlv ...\j U Xr. □
Stwierdzenie 2. Podprzestrzeń domknięta przestrzeni zwartej jest zwarta.
Dowód. Niech X będzie zwarta, a {Vx}Xt:/i będzie otwartym pokryciem domkniętej podprzestrzeni A c X. Zbiory Vx są otwarte w A (a niekoniecznie w X), więc, z defnicji topologii podprzestrzeni, istnieją zbiory Vx otwarte w X, takie że Ux = A r\ Vx. Dołączając do rodziny {VX}^A otwarty zbiór X\A, otrzymujemy
(') Tzn. dziedziną każdej krzywej całkowej a, jest caic R: tę własność pola wektorowego nazywa się zazwyczaj zupełnością. (Pr/yp tłum)
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wersja robocza z dnia: 30 czerwca 2015 ^//*(Z fi Pj) < 2/x*(Z) < oo dla każdego m= 1,2,... j=i
skanuj0243 (3) 256 PHP i MySQL dla każdego do okna wyświetlanego po uruchomieniu MySQL Admistratora
Określenie celów I granic tolerancji dla każdego punktu krytycznego (Zasada 3) Po istaleniu krytyczn
Za&awy auzi I JĘZYKA DLA KAŻDEGO SMYKA CZYLI JAK ZABAWNE MINKI POMACAJĄ V
TWIERDZENIE. Jeżeli funkcje _/(*) i g(x) są różniczkowalne na zbiorze X, to dla każdego xeX (cf (a:)
skanuj0108 (27) 120 PHP i MySQL dla każdego foreach{$tab as $key -> $val){ echo("tab[$key] =
skanuj0108 (27) 120 PHP i MySQL dla każdego foreach{$tab as $key -> $val){ echo("tab[$key] =
PB032237 Twierdzenie 6.9. Dla każdego a > 0: lim — = o n—-oo fja Wl Twierd
B. Zaliczenia §27 Sposób zaliczania dla każdego przedmiotu (zaliczenie na stopień, zaliczenie bez
Magazyn37 01 1*27 il) dla każdego z rodziców — po 25% zasadniczego zaopatrzenia zmarłego. Suma z
33846 skanuj0100 (27) 112 PHP i MySQL dla każdego Listing 4.10. Wykorzystanie pętli for do odczytu t
więcej podobnych podstron