Untitled Scanned 38

102

§ 3. ARYTMETYKA LICZB NATURALNYCH G. PEANA

Pierwsze aksjomatycznc ujęcie arytmetyki liczb naturalnych zostało zaproponowane jeszcze w roku 1889 przez G. Peana. Ujęcie to było później udoskonalane i modyfikowane przez innych matematyków. Owe udoskonalenia i modyfikacje były jednak stosunkowo niewielkie, w związku z czym każdy znany dzisiaj system aksjomatyczny arytmetyki liczb naturalnych bywa dość powszechnie nazywany systemem Peana. Poniżej opiszemy jeden z takich systemów. Od oryginalnego systemu Peana będzie się on różnił głównie tym, że nic będą w nim występowały żadne pojęcia teoriomnogo.ściowc (takie jak pojęcie zbioru czy predykat e). Będzie to więc jak to się mówi obecnie system elementarny. Zaczniemy - jak zawsze od dokładnego opisu języka arytmetyki.

DEFINICJA 3.1. Następujące .symbole nazywamy znakami języka arytmetyki liczb naturalnych:

i a v -» «-► a V	(stałe logiczne),
X, x₂ x₃ ...	(zmienne indy widu owe),
=	(predykat dwuczłonowy),
0	(nazwa indywidualna: zero).
S	(symbol funkcyjny jednoargumentowy),
+ •	(symbole funkcyjne dwuargumentowe),
( )	(nawiasy).

U w aga. Symbol S czytamy: następnik. Oznacza on funkcję, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje liczbę naturalną o jeden większą: a więc S (x) = x+l.

DEFINICJA 3.2. (i) Każda zmienna indywiduowa x_t oraz nazwa indywidualna 0 jest termem (albo formulą nazw ową) języka arytmetyki, (ii) Jeżeli a jest dowolnym termem, to wyrażenie SI a) jest również termem, (iii) Jeżeli a i fi są dowolnymi termami, to wyrażenia (a) + (/f) oraz (a) • (//) są również termami. (iv) Nie ma innych termów (języka arytmetyki) prócz tych, które są wymienione w punkcie (i) oraz tych, które można skonstruować wedle reguł podanych w punktach (ii) oraz (iii).

DEFINICJA 3.3 (i) Jeżeli a i (i są dowolnymi termami {języka arytmetyki), to wyrażenie a = (l jest formulą zdaniową (języka arytmetyki), (ii) Jeżeli A jest

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Untitled Scanned 38 C0D2A; ObClełlf cu i i i 1 i r (j L.wmj • G^CH AM pbUa H 0 ?0,25<Q^VO,i
Untitled Scanned 08 102. Apoksyomenos ...... " V‘ ....................,k.......
Untitled Scanned 38 Uwaga! Przy sporządzaniu krzywych M0, M = M0( cj), M (cr) wartości modułów na os
Untitled Scanned 38 sprawił, że na chwilę serce w niej zamarło. Przeciągły jęk dwóch starych gałę*j
18957 Untitled Scanned 38 - 76 - rys,3-19®, tablice przejść i wyjść układu Mealy*«ge - na rys.3.19b,
74855 Untitled Scanned 100 102 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 709. Na wykresie przedstawiono informacje
13932 Untitled Scanned 38 (5) 13.8. Przemieszczenia podpór Przy uwzględnianiu przemieszczeń spowodow
78100 Untitled Scanned 38 (2) ją to dane z historii obyczajowości. Prostytucja była na
79207 Untitled Scanned 38 (4) PLANIMETRIA tein ich przecięcia. iedząe, że długości na. której końcam
81086 Untitled Scanned 51 - 102 - są nieefektywne, zarówno ze względu na trudności wynikające ze sto

więcej podobnych podstron