Zarz Ryz Finans R1379

13. Taksonomia modeli wyceny opcji 379

Model Blacka-Scholesa

Model Blacka-Scholesa opiera się na pojęciu portfela arbitrażowego: opcji i akcji dobranych w taki sposób, że tworzą portfel bezpieczny. Black i Scholes jako pierwsi zauważyli, że pełne zabezpieczenie można uzyskać z pozycji w danej opcji oraz w akcjach pierwotnych. Ponieważ zabezpieczenie takie jest (automatycznie) wolne od ryzyka, arbitraż rynku gwarantuje, że rentowność tak zabezpieczonego portfela musi być równa bezpiecznej stopie zwrotu. Połączenie tego warunku równowagi z odpowiednimi warunkami brzegowymi pozwoliło Blackowi i Scholesowi wyprowadzić konkretny model wyceny opcji.

Model został wyprowadzony w celu wyceny europejskich opcji akcyjnych. Trzeba koniecznie pamiętać, że opiera się on na wielu założeniach. Zestawienie tych założeń zawiera tabela 13.1. Większość z nich jest całkiem jasna, pewnych wyjaśnień wymaga zapewne tylko pojęcie ciągłego procesu Ito.

Tabela 13.1. Założenia modelu Blacka-Scholesa

1. Akcja nie przynosi dywidendy.

2. Koszty transakcyjne i podatki są zerowe.

3. Stopy procentowe są stałe.

4. Nie ma „kar” za krótką sprzedaż akcji.

5. Rynek działa w sposób ciągły, a przebieg cen akcji da się modelować ciągłym procesem Ito.

6. Rozkład końcowych cen akcji (rentowności) jest logarytmiczno-normalny.

Na marginesie

Ciągły proces Ito

W pracach matematycznych proces Ito definiuje się po prostu jako „proces Markowa w czasie ciągłym”. Dla naszych celów wskazane jednak będą dodatkowe informacje.

Proces Markowa to taki proces, w którym obserwacja w chwili t zależy wyłącznie od poprzedniej obserwacji. I tak na przykład jeśli przebieg cen akcji jest procesem Markowa, cenę S w chwili t można określić wzorem:

S,=X(S,-l)+£,

gdzie X jest stałą, a £ jest składnikiem wyrażającym błąd przypadkowy.

Proces jest ciągły, jeśli można go przedstawić na rysunku bez odrywania pióra od papieru.