Zarz Ryz Finans R1385

13. Taksonomia modeli wyceny opcji 385

Na marginesie

Równania różniczkowe

Równanie różniczkowe to po prostu równanie zawierające pochodne. Jeśli występuje W' nim tylko jedna zmienna niezależna, pochodne są pochodnymi zwykłymi, a równanie jest zwykłym równaniem różniczkowym. Takim zwykłym równaniem różniczkowym może być na przykład równanie dy/dx = 0,8. Jeśli są dwie zmienne niezależne (lub jest ich jeszcze więcej), pochodne są różniczkami cząstkowymi, a równanie nazywane jest równaniem różniczkowym cząstkowym. Zauważmy, że równanie 13.9 jest równaniem różniczkowym cząstkowym, ponieważ zawiera za-równo dC/dS, jak i c)C/dt.

Aby zorientować się nieco w rozwiązywaniu takich równań, przyjrzyjmy się podanemu wyżej zwykłemu równaniu różniczkowemu dy/clx = 0,8. Równanie to stwierdza, że pochodna funkcji jest stała -równa 0,8; mówi nam więc, że tangens kąta nachylenia wykresu funkcji y do osi x jest stały i równy 0,8. Innymi słowy, z naszego równania wynika, że wykres funkcji y jest linią prostą, nachyloną do osix pod kątem, którego tangens wynosi 0,8. Takich prostych jest jednak nieskończenie wiele - która z nich jest poprawnym rozwiązaniem naszego równania? Aby ją zidentyfikować, potrzebujemy „warunku brzegowego”, ustalonego punktu jednoznacznie wyznaczającego szukaną prostą. Jeśli zatem wiemy, że przy x' = 0 wartość y = 2, to jedynym poszukiwanym przez nas rozwiązaniem będzie fu n kej a y = 2 + 0,8x.

Zauważmy, żc kiedy określaliśmy równoważną stopę zwrotu dla zabezpieczonego portfela, przyjęliśmy tylko jedno założenie w sprawie preferencji uczestników rynku: jeśli dwa walory stanowią doskonale substytuty, muszą przynosić tę samą stopę zwrotu - ponieważ w pełni zabezpieczony portfel nie wiąże się z żadnym ryzykiem, musi przynosić wolną od lyzyka stopę zysku. Skoro zatem nic przyjęliśmy żadnych założeń odnośnie preferencji w'ykazywanych przez uczestników rynku w związku z ryzykiem, model wyceny implikowany przez równanie 13.9 musi być inwariantny względem preferencji w sprawne ryzyka. Wynika stąd, że jeśli uda nam się znaleźć rozwiązanie naszego równania różniczkowego dla określonej struktury preferencji, musi być ono również rozwiązaniem tego problemu w każdej innej strukturze preferencji, która w ogóle dopuszcza rozwiązanie.

W celu rozwiązania równania 13.9 wybierzemy zatem strukturę preferencji upraszczającą stronę matematyczną zagadnienia: przyjmiemy, żc wszyscy uczestnicy rynku są obojętni na ryzyko. W świecie obojętnym na ryzyko oczekiwana stopa zwrotu wszystkich aktywów byłaby równa. Bieżąca cena opcji kupna odpowiada więc w nim wartości bieżącej oczekiwanej ceny opcji kupna w dniu