Zarz Ryz Finans R1395

1 3. Taksonomia modeli wyceny opcji 395

Modele dwumianowe

Metodę dwumianową wyceny opcji przedstawiliśmy już w rozdziale 12. Metoda ta - zwana również metodą drzewka dwumianowego - została zaproponowana po raz pierwszy przez Williama Sharpe’a w 1978 r.. Kojarzy się ją jednak na ogól z pracą Johna Coxa, Stephena Rossa i Marka Rubinsteina opublikowaną w 1979 r. Jak pokazuje ilustracja 13.7, modele dwumianowe rozwijały się również później.

Zgodnie z propozycją Coxa, Rossa i Rubinsteina, w metodzie tej dzieli się czas do wygaśnięcia opcji na dyskretne przedziały i zakłada, że w każdym z tych przedziałów czasowych cena waloru - na przykład akcji - zmienia się w procesie dwumianowym, rosnąc od wartości początkowej S do Su (z prawdopodobieństwem p) lub spadając do Sd (z prawdopodobieństwem 1 - p). Jak widzimy na ilustracji 13.8, proces taki daje „drzewko” cen akcji. Mając taki zbiór cen akcji, można wycenić opcję kupna, przeprowadzając rachunki wstecz od daty wygaśnięcia. Jeśli zaczniemy od jednej z końcowych cen akcji, możemy bezpośrednio otrzymać odpowiednią wartość końcową opcji. Następnie, korzystając z obserwacji Blacka i Scholesa, że akcje i opcje kupna da się połączyć w portfel bezpieczny, możemy cofać się w kierunku początku drzewka od chwili T do chwili T - 1, dyskontując w tym przedziale czasowym wartość portfela wolną od ryzyka stopą procentową. Następnie powtarzamy tę procedurę, przechodząc od T-1 do T-2 i tak dalej, aż uzyskamy wartość opcji kupna w chwili jej wystawienia.

Siła modelu dwumianowego polega na tym, że można go zastosować do szeregu różnych aktywów, opcji czy warunków rynkowych. Jest on więc szeroko stosowany do wyceny opcji amerykańskich oraz opcji bardziej skomplikowanych.

Jednym z najszerzej dyskutowanych obszarów zastosowania dwumianowych modeli wyceny opcji jest dziedzina opcji procentowych. Do wyceny opcji na obligacje był początkowo używany model Blacka-Scholesa lub model Blacka opcji na kontrakty futures. Przekonano się jednak, że zastosowanie tych modeli rodzi dwa problemy: (1) modele Blacka-Scholesa i Blacka zakładają, że stopa procentowa jest stała, co jest jawnie niezgodne z sytuacją wyceny obligacji; (2) zakładają również, że zmienność jest stała, gdy tymczasem w przypadku stóp procentowych zmienność maleje wraz z malejącym czasem do spłaty' - gdy zbliża się termin spłaty obligacji, zmienność jej ceny dąży do zera.

Pierwszy dwumianowy model wyceny opcji procentowych został zaproponowany przez Richarda Rendłemana i Brita Barttera w 1979 r. Autorzy opisali strukturę stóp procentowych za pomocą jednoparametrowego modelu, zakładając, że stopa bezpieczna rośnie jednostajnie, a jej zmienność jest stała.