00098485

I. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Łatwo sprawdzić, że nie jest to funkcja holomorficzna, gdyż nie spełnia warunków J Cauchy'ego-Rirmamut Część rzeczywista E. i część urojona F., tej funkcji są natomiast klasy C* i spełniaj* warunki

£« — — Ej oraz -4- (— £,) =    £«

dy dx ’    dy ’ dx

w każdym punkcie, z wyjątkiem początku układu Pierwszy z tych warunków ozr że pole (111.53) jest ber wirowe, natomiast drugi, że pole lo jest betiróJlow*. Wynik* stąd, te w każdym prostokącie (a nawet — jak można wykazać — w każdym o biza- j rze jednospójnym) nie zawierającym punktu 0 istnieje taka funkcja V(x, y) nazywaną: J“ potencjałem elektrostatycznym pola E, te

E.--K    i    _£„_"1    WL»;1

dx    ’ dy

oraz istnieje taka funkcja U(x,y), nazywa na funkcją sil pola E, żc

E.— "L 1    E,-«L

ox    dy

Potencjał V(x,y) i funkcja sił lĄx,y) są to funkcje ha moniczne, sprzężone ze sobą za pomocą równań

____ W_ d£

dx dy    dy * dx

które są bezpośrednią konsekwencją warunków (111.54) i (111.55). Wynika stąd, jj że funkcja zmiennej zespolonej

Fb)-V(x,y)+jV(x,y)    <DU«|

jest holomorficzna w rozważanym obszarze jednospójnym. Nosi ona nazwę potencja lu zespolonego. Linie rodziny

V(x, y) = const

są to linie stałego potencjału, natomiast Unie rodziny U(x, y) - copst

są to linie sil. Każda linia jednej z tych rodzin jest ortogonalna do każdej linii drugiej ; rodziny.

Łatwo sprawdzić, że dla pola określonego wzorem (III.53} mamy

K(x,y)- -pln^+mc,

U(x,y) = 2c arctg —-+C, przy czym dla prostoty ograniczyliśmy się do półpkszczyzny Rez > 0, co zapewnia

ciągłość funkcji arctg—. Potencjał zespolony pola (111.53) jest więc określony w pót-plaszczyinie Re? > 0 następującym wzorem

F(z) = 2g (arc tg — -j ln /łHpj + C

czyli

F(z) = 2g(argz-y ln |z|)+C    (JILS7)

gdzie C oznacza dowolną liczbę zespoloną. Liniami stałego potencjału są tu okręgi ]z| = const, natomiast liniami sił—póiproste argz *= const.

Powróćmy do wzoru (111.56). Ponieważ

F'« -17+^4/" -*-#• - -W.-«

więc

E= -J-r(z)    (III.58)

Wzór ten wyraża zależność wektora E pola płaskiego od potencjału zespolonego F(z); kreska oznacza wartość sprzężoną.

Należy zaznaczyć, że potencjały zespolone wprowadza się nie tylko w elektro-s ta tyce, lecz także w innych działach fizyki teoretycznej tam, gdzie mamy do czynienia z polami płasko-równoległymi. Oprócz elektrostatyki do działów takich należą w pierwszym rzędzie hydromechanika i aeromechanika.

ĆWICZENIA

I. Podać definicję funkcji holomorficznej w punkcie. Porównać holomorficzność funkcji w punkcie z istnieniem pochodnej/"(*>) • Co to znaczy, łe funkcja jest holomorficzna w obszarze! Porównać holomorficzność funkcji w obszarze z istnieniem pochodnej funkcji w tym obszarze.

Ł Wykazać, łe część rzeczywista i część urojona funkcji holomorficznej w pewnym obszarze są to funkcje harmoniczne w tym obszarze. Sprawdzić to bezpośrednio dla funkcji:

a) /(zł-rf+z. b) /(r)-e>, _c)/fc) = A_t d) /<*)__2e-«.

3.    Podać definicję funkcji harmonicznych sprzężonych ze sobą. Podać przykłady takich funkcji

4.    Omówić znajdowanie funkcji holomorficznej, gdy dana jest jej część rzeczywista albo urojona. Znaleźć funkcję /(z) = u+Jv, jeżeli: a) u = x’-3xy‘. b) o=6i^Jy-V.

c) a “ e* (icosy-ysiny). Otrzymany wynik sprawdzić bezpośrednim rachunkiem.

3. Wyjaśnić interpretację geometryczną par funkcji harmonicznych sprzężonych ze sobą.

6.    Omówić interpneiację fizyczną runkcji holomorficznej, nawiązując do analizy pola płasko-równoległego. Co to jest potencjał zespolony?

7.    Wykazać, że między wektorem E pola (1(1.33) oraz funkcją sil U tego pola, zachodzi następujący związek E ■= -/grad U.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
262    III. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Łatwo sprawdzić, te nie jest to funkcja
26695 str112 (5) 112 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Łatwo zauważyć, że równania bokó
19510 str014 (5) 14 I. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Rugując parametr t z układu (1),
Strona0099 99 nie. Łatwo sprawdzić, że siła oddziałująca na podłoże jest proporcjonalna do tłumienia
str094 (5) 94 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Uwaga 1. Mówimy, że funkcja u(x,y) jest
str047 (5) § 6. CAŁKA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ 47 -. b) J2 = jzdz, gdzie C jest krzywą o równaniu
str050 (5) 50 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Zauważmy teraz, że na O A = Jt mamy z =
Dziawgo; Pochodna funkcji jednej zmiennej 6 138 Pochodna funkcji jednej zmiennej 16.11   &
str072 (5) I 72 1. elementy teorii funkcji zmiennej zespolonej Rozwiązanie, a) Zauważmy, że(1) Z roz
274 I. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ IŁ Wyk»2»ć, że zdanie V«* - Ojeat fałszywe. H. Znaleźć częić: a)
35 Momenty zmiennych losowych 2.1.10.    Sprawdzić, że F(x) = e~e jest dystrybuantą

więcej podobnych podstron