0024

§ 3. Działania arytmetyczne na liczbach rzeczywistych

liczb dodatnich (tak, jak własność III. 2°). Do tego przypadku sprowadzają się wszystkie pozostałe przypadki — przez zmianę znaków obu stron równości, lub przez przeniesienie wyrazów z jednej strony równości na drugą. Wyjątkiem jest jedynie przypadek, gdy jedna z liczb a, p, cL+p jest równa zeru; ale w tym przypadku równość jest bezpośrednio oczywista.

Ostatnią własność

III. 6° z a>p i y>0 wynika a-y>p-y, sprawdzamy bez trudu. Nierówność a>/? jest równoważna nierówności a—P>0; w takim razie według reguły znaków również mamy (<x—P)y>0. Ale mnożenie jest rozdzielne także względem odejmowania, więc 17-~p-y>0, skąd ory>p-y.

16. Uwagi dodatkowe. Pozostaje wspomnieć jeszcze o „pewniku Archimedesa”.

IV. 1° Dla każdej liczby rzeczywistej y istnieje liczba naturalna n>y.

Dowód dla liczb rzeczywistych jest prosty: zawsze w górnej klasie przekroju C\C' określającego liczbę y, istnieje większa od niej liczba wymierna c', a dla liczb wymiernych zasada ta jest słuszna.

Można więc wreszcie uznać za udowodnione, że w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych są w pełni zachowane reguły algebry elementarnej, odnoszące się do czterech działań arytmetycznych i do łączenia równości i nierówności.

17. Wartości bezwzględne. Ze względu na dalsze potrzeby przytoczymy jeszcze kilka uwag o wartościach bezwzględnych.

Przede wszystkim zauważmy, że nierówność |a| <p (gdzie oczywiście p>0) jest równoważna nierówności podwójnej: ~p<cc<p.

Rzeczywiście z |a| <p wynika, że równocześnie a<P oraz — <x<p, tj. a> — /?. Odwrotnie, jeżeli a.<p oraz a> — /?, to mamy równocześnie: a<p i — a</?; ale jedna z tych liczb a, —a równa się |a|, a więc z pewnością |a|</?.

Analogicznie dowodzi się równoważności nierówności:

\<x\^P i -/?<oc</J.

Udowodnimy dalej pożyteczną nierówność

|a+/J|<|a| + |/?|.

Dodając stronami oczywiste nierówności

-|a|<a<|a| oraz

otrzymujemy

- (|a| + |/J|) <oc + P < |a| + [0j,

skąd na podstawie powyższej uwagi wynika żądana nierówność.

Za pomocą indukcji matematycznej możemy ją rozszerzyć na przypadek dowolnej ilości składników:

|a+j8 + ...+y|^|a| + |/f| + ... + |y|.