0079

II. Funkcje jednej zmiennej

4) Omówmy jeszcze zależność ciśnienia powietrza p (atm) od wysokości miejsca h (m) nad poziomem morza. W fizyce wyprowadza się wzór barometryczny:

■kk

P=P₀e

gdzie p₀ jest ciśnieniem na poziomie morza, a k jest pewną stałą. W myśl tego wzoru, ciśnienie p jest funkcją h i jest określone, jeżeli tylko znamy wartość h.

Zauważmy od razu, że sam wybór zmiennej niezależnej z dwóch rozpatrywanych zmiennych bywa niekiedy obojętny lub jest związany z praktyką. W większości przypadków praktycznych jest on podyktowany wyborem zmiennej, którą badamy w zależności od innej, tj. celem badań.

Jeżeli np. w ostatnim przykładzie — związek pomiędzy ciśnieniem p a wysokością h jest wykorzystany po to, aby lotnik mógł z obserwacji ciśnienia sądzić o osiągniętej wysokości, to naturalna jest zamiana roli zmiennych, i przedstawienie wzoru barometrycz-nego w postaci

h=— ln — ■ k p

45. Definicja pojęcia funkcji. Abstrahujemy teraz, jak zwykle, od sensu fizycznego rozważanych wielkości, podając dokładną ogólną definicję pojęcia funkcji - jednego z najważniejszych pojęć analizy matematycznej.

Niech dane będą dwie zmienne x i y o obszarach zmienności SC i SC. Zakładamy, że w warunkach zagadnienia zmienna x może przyjąć bez ograniczeń dowolną wartość z obszaru SC. Wówczas zmienna y jest funkcją zmiennej jc w jej obszarze zmienności SC, jeżeli istnieje prawo przypisujące każdej wartości x z SC dokładnie jedną, określoną wartość y (z 30.

Zmienna niezależna nazywa się także argumentem funkcji.

W tej definicji istotne są dwie rzeczy: po pierwsze, wskazanie obszaru SC zmienności argumentu x (którą nazywamy też zbiorem argumentów funkcji lub dziedziną funkcji), i po drugie, ustalenie prawa na odpowiedniość pomiędzy wartościami x i y. (Obszaru SC zmienności y można często nie podawać, gdyż samo prawo określa już zbiór przyjmowanych przez funkcję wartości).

Można też przy podawaniu definicji funkcji przyjąć ogólniejszy punkt widzenia, dopuszczając, by każdemu argumentowi x z SE odpowiadała nie jedna, a kilka wartości y (być może nawet nieskończenie wiele). W podobnych przypadkach funkcję nazywamy wieloznaczną, w odróżnieniu od funkcji jednoznacznej, rozważanej dotąd. W wykładzie analizy funkcji zmiennej rzeczywistej unika się funkcji wieloznacznych, a więc mówiąc o funkcji, mamy na myśli funkcję jednoznaczną, o ile nie jest wyraźnie zaznaczone, że jest inaczej.

Aby wskazać fakt, że y jest funkcją x, piszemy:

y=f(x), y = <p(x), y=F(x) itp. O.

t¹) I czytamy: ygrek równa się f od iks, ygrek równa się fi od iks, itd.