0103
104
II. Funkcje jednej zmiennej
Dwa wyrażenia skrajne można przekształcić do postaci: / 1 \»k+1
przy czym, na mocy (12),
a jednocześnie
1 V"
1-1--j ->e oraz
«*/
1 1 1+—>1, 1+—--1
nk Mjt+1
Tak więc oba rozważane wyrażenia mają wspólną granicę e, a więc ciąg pomiędzy nimi zawarty również dąży do e (na mocy twierdzenia 3°, [28]) i
lim
=e.
W ten sposób zakończyliśmy dowód związku (11) w języku ciągów.
Dla dowodu (1 la) załóżmy teraz, że ciąg xk ma jako granicę — oo (przy czym można przyjąć, że wszystkie xk< — 1). Jeżeli przyjąć xk— —yk, to + oo (i wszystkie y*>l).
Oczywiście
Ponieważ w myśl poprzednich uwag pierwszy czynnik ostatniego wyrażenia ma granicę e, a drugi ma granicę 1, więc wyrażenie po lewej stronie również dąży do e. Wzór (11 a) został udowodniony.
Zastąpmy teraz w wyrażeniu (1 + l/x)x zmienną x przez 1/a; jeżeli przyjąć za a„ ciąg dodatnich lub ujemnych wartości, dążący do 0, to xn=l/an dąży do ±oo. Dlatego wzory (11) oraz (lla) można napisać w postaci
(13) e= lim (l+a)1/a.
a-+0
Ten godny uwagi rezultat służy za podstawę wszystkich zastosowań liczby e.
9) Interesujący jest również przypadek, gdy granica funkcji nie istnieje; funkcja sin x, gdy x~* + oo (—oo), nie ma w ogóle granicy.
O nieistnieniu granicy najłatwiej jest się przekonać na podstawie definicji w języku ciągów. Wystarcza zauważyć, że dwu ciągom
{(2n—|)n) oraz {(2n+i)tr) (n=l, 2, 3, ...)
argumentów o granicy +co odpowiadają ciągi wartości funkcji dążące do różnych granic:
sin(2n—ł)tt= —1-» — 1, sin(2n+i)«=l-*’l •
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
104 II. Funkcje jednej zmiennej Dwa wyrażenia skrajne można przekształcić do postaci: / 1
140 II. Funkcje jednej zmiennej 78. Wyrażenia oznaczone i nieoznaczone w postaci potęgi. Rozważymy t
112 II. Funkcje jednej zmiennej To kończy dowód naszego twierdzenia, należy bowiem tylko przy a skoń
118 II. Funkcje jednej zmiennej Udowodniona własność nieskończenie małych prowadzi do jej wykorzysta
138 II. Funkcje jednej zmiennej przedstawiamy rozważane wyrażenie kolejno w
120 II. Funkcje jednej zmiennej Przy jednokrotnym przykładaniu listewki błąd bezwzględny równa się
128 II. Funkcje jednej zmiennej punkt jc=0 jest punktem nieciągłości drugiego rodzaju — z obu stron;
więcej podobnych podstron