0133
134
II. Funkcje jednej zmiennej
Niech więc dla pewnego x0 funkcja ta będzie różna od zera. Podstawiając w (B) y=x0—x, otrzymujemy
/(■*)/(* o -*) =f(x o) # 0,
skąd widać, że funkcja /(x) jest różna od zera dla wszystkich x. Co więcej, zastępując w (B) * i y przez ix, znajdujemy:
Xx)=imxn2,
czyli funkcja f(x) jest wszędzie dodatnia.
Posługując się tą uwagą, logarytmujemy równość (B), np. przy podstawie naturalnej e:
ln/(x + y) = ln/(x) + lnf(y).
Jeżeli przyjmiemy
$»(x)=ln/(x),
to funkcja ę(x) jest funkcją ciągłą (jako superpozycja funkcji ciągłych, [73]) i spełniającą warunek:
<f>(x~y) = <fi{x)-\ę(y),
analogiczny do warunku (A). Mamy więc koniecznie
ę{x)=\nf{x) — cx (c=const),
skąd
r/ \ cx x
f(x) = e =a
(jeżeli położyć a = ec), cbdo.
2° Jeżeli
(c) /(x)=log„x (a>0, af=l),
to dla dowolnych dodatnich x i y jest
(C) f(xy)=f(x)+f(y).
Jest to zapis prawa logarytmowania iloczynu:
log„ xy = log. x + log0 y.
Również tutaj, ta równość wraz z ciągłością charakteryzuje w pełni funkcję logarytmiczną: Jedyną funkcją, określoną i ciągłą w przedziale (0, +oo), i spełniającą w nim warunek (C), jest funkcja logarytmiczna (z wyjątkiem funkcji trywialnej /(x) = 0), tak że wzór (c) daje najogólniejsze rozwiązanie równania funkcyjnego (C) w funkcjach ciągłych.
Dla dowodu, weźmy dowolną funkcję /(*), ciągłą dla x> 0 i spełniającą równanie (C). Wprowadźmy nową zmienną f zmieniającą się w przedziale { — cc, +oo) i przyjmijmy
x=e(, ę(i)=f(ei),
skąd
{=lnx, /(•*)—p(lnx).
Funkcja ciągła [73] <p(i) spełnia warunek (por. (C))
<p((+n) =fił+") =/(eV) =/(e{) +f(e”) = <p(t) + «v)
postaci (A). Czyli
<p(£)=c i f(x)—clnx.
Jeżeli wyłączyć przypadek c = 0 (gdy f(x)=0), to otrzymany wynik można zapisać w postaci
/(x) = log„x,
gdzie a = e1/c, cbdo.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
img173 W > 0.05 l(49) więc wnioskujemy, że odległość pozioma jest istotnie różna od zera. 95%-owe
98 II. Funkcje jednej zmiennej Niech zbiór SC={*} ma punkt skupienia a (liczbę skończoną lub ±oo). W
98 II. Funkcje jednej zmiennej Niech zbiór 3C={*} ma punkt skupienia a (liczbę skończoną lub ±oo). W
5.3.1. Metoda różniczki zupełnej Niech szukana wielkość Z jest funkcją tylko jednej zmiennej Z = f(x
100 n. Funkcje jednej zmiennej 2) Ustalimy, że dla a>l jest lim log,x= + oo , l
100 n. Funkcje jednej zmiennej 2) Ustalimy, że dla a>l jest lim 1oł,jc= + oo ,
W8/9 str 1Całkowanie numeryczneCałkowanie funkcji jednej zmiennejWprowadzenie Niech f będzie funkcją
Analiza Matematyczna Funkcja Jednej Zmiennej x3-x2 3. h(x) 4. h(t) = dla x*l
SAM28 Funkcje zdaniowe jednej zmiennej. Niech będzie dana przestrzeń 0.Definicja. Wyrażenie <p(x
139 3 276 Xni. Badanie przebiegu zmienności funkcji Widzimy, że druga pochodna zawsze jest różna od
s20iw STATYSTYKA 2 1. Zmienna losowa standaryzowana ma wartość przeciętną różną od
więcej podobnych podstron