0286

§ 5. Przybliżone rozwiązywanie równań

Aby rozwiązać to zagadnienie, zastosujemy do różnicy /(*„)—/({) wzór Lagrange’a [112]:

Jeśli przez m oznaczymy najmniejszą wartość \f'(x)\ w rozpatrywanym przedziale (wartość tę można obliczyć raz na zawsze), to otrzymamy oszacowanie

(6)

Tak więc okazuje się, że na podstawie samej wartości /(*„) można wnioskować o stopniu bliskości x„ do pierwiastka.

Przykład. Równanie

*³-2*²-4x-7=0

ma pierwiastek między 3 a 4, bo jeśli przez / (x) oznaczymy jego lewą stronę, to

/(3)=-10<0,    /(4)=9>0.

Postawmy sobie za zadanie obliczyć ten pierwiastek z dokładnością do 0,01. W przedziale <3, 4> obie pochodne

zachowują znak plus (przypadek I); najmniejsza wartość pierwszej z nich m = ll. Mamy

/(3)    . 10

zaokrąglając wynik przyjmujemy x₁ = 3,52. Ponieważ/(3,52)=—2,246592, więc nierówność (6) nie gwarantuje jeszcze żadnej dokładności. Otrzymujemy następnie

Po zaokrągleniu x₂ = 3,61. Obliczając/(3,61)=—0,458319 i korzystając z nierówności (6) widzimy znowu, że nie osiągnęliśmy jeszcze celu. Wreszcie

0,39-/(3,61)    0,17874441

-—1+-1—: =3,61 + --

/(4)-/(3,61)    9,458319

Zaokrąglając otrzymamy *₃ = 3,63. Ponieważ zaokrągliliśmy w stronę pierwiastka, mogliśmy go przekroczyć. Nie zaszło to jednak, jak widać ze znaku liczby /(3,63)=—0,041653.

Tym razem na mocy nierówności (6):

,    ,    0,041...

!*3-ć|=£-*3<—^<0,004.

W ten sposób

3,630 <{<3,634,

tzn. { = 3,63 + 0,004.

Ograniczymy się do tego tylko przykładu, ponieważ metoda siecznej jest jednak praktycznie mało skuteczna. Przewyższa ją metoda stycznej, do której teraz przejdziemy.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
287 § 5. Przybliżone rozwiązywanie równań Aby rozwiązać to zagadnienie, zastosujemy do różnicy
287 § 5. Przybliżone rozwiązywanie równań Aby rozwiązać to zagadnienie, zastosujemy do różnicy
minileksykon111 Jeżeli w układzie równań liniowych wyznacznik
to trzeba stwier- Jeśli to kryterium zastosować do Polski, dzić, że zainteresowanie informacją jest
Magazyn6 3701 933 MIĘDZYNARODOWA ORGANIZACJA PRACY rencje zajęły się temi zagadnieniami w zastoso
12337 s132 133 32 Aby wyznaczyć to rozwiązanie, skreślamy w układzie ostatnie równanie, nie objęte w
295 § 5. Przybliżone rozwiązywanie równań gdyż pozwala to zwęzić przedział zawierający
6-10 Skompilował Janusz Mierczyński on wszystkie możliwe rozwiązania równania (6.3). Aby to udowodni
CCF20140115021 Stefan Turnau a więc x + 2- x + 2- 2- x=42. Aby rozwiązać to równanie, trzeba je naj
img010 (54) 15 oraz równanie A- x = b ma rozwiązanie, to znaczy istnieje wektor x*e R" taki, że
img349 Problem rozwiązania równania Ar = x nazywa się zagadnieniem wartości własnych. D4. 9. Liczba
Untitled 29 3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich ukiadów 128 gdyż przy przyjętych
Untitled 30 130 J. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów Przy rozwiązywaniu ró

więcej podobnych podstron