0421

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

Łatwo jest stąd obliczyć czynnik // i wraz z nim x, y, 2. Można też dodając stronami te równania pomnożone przedtem odpowiednio przez /, m, n otrzymać równanie

/V    m²b²    n²c²

aⁱ^?⁺b^r^?⁺?^?⁼⁰ ’

z którego od razu obliczamy interesujące nas dwie wartości ekstremalne r².

Ponieważ tutaj wiemy z góry, że istnieją te wartości ekstremalne, otrzymujemy pełne rozwiązanie zadania.

5) Na zakończenie poszukajmy najmniejszej i największej wartości formy kwadratowej

n

/C*1 ,*2, ...,*„)= Y a,_kx,x_t    (a,_k = a_kl)

l.kZ 1

przy warunku

(14)    q>(xi,x₂, ..., x*)=x\ +x₂+ x² = 1 (‘).

Tworzymy funkcję Lagrange’a

F(X₁,X₁, ...,*„)=/(X_t,X2, ...,X„)-A(A:?-i-A'2 + ...-i-A^).

Rugując *1, x₂,.... x„ z równań

1	9F
	• -— = (<*11— X)xi +al2 x2 +..	.+Ui»a:.=0,
2	0x1
1	dF
	■ r~ = a2iXi+{a22—X)x2 + ..	.+U2.Jt„=0,
2	dx2

(15)

1 ~2 otrzymujemy równanie stopnia n	dF ~— — Oni Xi +a„2 X2 + . dXn względem X:
	On —X	«12	0 In
(16)	o21	a22—X	O 2.
	Oni	Oni	Onn~X

Jeżeli X jest jednym z jego pierwiastków, to układ równań liniowych (15) jest spełniony przez wartości Xi, x₂,x_n, które nie są wszystkie jednocześnie równe zeru. Mnożąc je przez odpowiedni czynnik możemy sprawić, aby spełniony był warunek (14). Jednak obliczanie tych wartości nie jest nam potrzebne, bo można wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji/bez rozwiązywania równań (15).

Istotnie, mnożąc równania (15) odpowiednio przez x_lt x₂, x„ i dodając stronami otrzymujemy równanie

f(x_k ,x₂, ..., x„)-X(xf+xl + ...+x²)=0 ,

i wobec warunku (14):

f(xi,x₂, ...,x,)=X .

A więc jeżeli X spełnia równanie (16), to wartość funkcji / w odpowiednim punkcie (x,, x₂,..., *„) jest równa tej wartości X.

Otrzymaliśmy elegancki wynik: najmniejsza i największa wartość funkcji / przy warunku (14) pokrywają się z najmniejszym i największym z pierwiastków rzeczywistych równania (16)(²).

(‘) Można tu zrobić uwagę analogiczną do uwagi w notce (^z) na str. 419. (²) Można wykazać, że wszystkie pierwiastki tego równania są rzeczywiste.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
446 VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania 8) Łatwo jest uogólnić przekształcenie Legendre a n
410 VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania 2) Dane jest równanie F(x, y) = x2 4- ,v2 — 3 axy=0
424 VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania spełniona jest w przestrzeni trójwymiarowej
406 VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania Wynika stąd, że m-ta funkcja (12a) jest także ciągł
428 VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowaniajest tożsamościowe) równy zeru, bo rząd macierzy (19
396 VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania W najprostszym przypadku — gdy równanie (1) jest
416 VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania jak wyżej w równości (6). Wyznacznik (3) w tym punk
438 VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania Dalsze pochodne najprościej jest obliczyć w następu

więcej podobnych podstron