0498
499
§ 4. Długość krzywej płaskiej
Teraz, gdy wiemy, że funkcja u=co(t) rośnie wraz z /, jest już jasne, że uporządkowanie punktów odpowiadające wzrastaniu parametru t jest identyczne z uporządkowaniem ich odpowiadającym wzrastaniu parametru u.
Określony wyżej zwrot na krzywej, który można by nazwać zwrotem na krzywej od punktu A do punktu B, jest zatem pojęciem w pełni geometrycznym.
Analogicznie, zamieniając na przykład / na — /'i porządkując punkty według wzrastania parametru /', można wprowadzić zwrot na krzywej od punktu B do punktu A. Można też oczywiście otrzymać ten zwrot porządkując punkty według malenia parametru /. Zwrot ten, rzecz jasna, również nie zależy od wyboru przedstawienia krzywej.
Zajmijmy się teraz zagadnieniem zwrotu na krzywej zamkniętej. Wybierzmy na niej dwa dowolne punkty C i D różne od A i oznaczmy odpowiadające im wartości parametru / przez tt i t2. Niech przy tym będzie /2>/1, tak że przy tym uporządkowaniu, które było wyżej ustalone za pomocą parametru /, punkt D następuje po C. Można pokazać, że każdy zwrot na krzywej określony za pomocą dowolnego przedstawienia parametrycznego pokrywa się z powyższym zwrotem, jeżeli zachowuje kolejność punktów C i D. Istotnie, niech wartościom t—t* i t—T* takim, że t0<t*<t1 i t2<T*<T, odpowiadają punkty A* i B*. Dla niezamkniętego łuku A*B* podane twierdzenie wynika z poprzedniego, ponieważ zaś t* i T* mogą być dowolnie bliskie t0 i T, jest ono prawdziwe dla całej krzywej.
Można tym samym mówić o zwrocie od A przez C i D do A, jako niezależnym od wyboru przedstawienia parametrycznego krzywej. Analogicznie wprowadzić można zwrot od A przez Di C do A.
247. Długość krzywej. Addytywność długości łuku. Rozpatrzymy najpierw krzywą '-'AB przedstawioną równaniami (1) ze zwrotem określonym na niej wzrastaniem parametru /. Obierzmy na tej krzywej pewną liczbę punktów
(2) A — M0> Mlf Mz, ..., Mt, Ml+i, Mn--=B
w ten sposób, aby kolejność tych punktów była zgodna ze zwrotem na krzywej, to znaczy obierzemy skończony ciąg punktów odpowiadających rosnącym wartościom parametru
(3) /0</l</2. ..</;</,+ !<• ..</,.
Łącząc te punkty kolejno odcinkami prostoliniowymi (rys. 149) otrzymamy łamaną M0MX ...
Mn_ i M„ wpisaną w krzywą AB. Zauważmy, że w poprzednim ustępie stwierdziliśmy niezależność pojęcia zwrotu na krzywej — a tym samym pojęcia łamanej wpisanej — od wyboru przedstawienia parametrycznego (1).
Długością krzywej AB nazywa się kres górny S zbioru długości p wszystkich łamanych wpisanych w krzywą:
S=sup {p}.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
157 8 I. Długość krzywej Niech teraz będzie dane dowolne równanie postaci (14). (Zakładamy tylko, że
IMG 28 (2) — Dobrze, że nauczyciel nam ufa i pozostawia nam wiele swobody. My, gdy wiemy, że coś trz
P1010367 gdy wiemy, że wygłasza je wampir. Poręczane są one wówczas przez stronę zniszczenia i śmier
501 § 4. Długość krzywej płaskiej Zbiór {p} jest więc ograniczony z góry, bo S i S" są skończo
503 § 4. Długość krzywej płaskiej lub krócej: (10) s ,=slx’t2+y’t2. Jeżeli podniesiemy tę
505 § 4. Długość krzywej płaskiej Przyjmijmy łuk jako parametr i niech punkt M odpowiada wartości s
511 § 5. Krzywizna krzywej płaskiej przy tym podkreślić, że we wszystkich przypadkach przy liczeniu
149 § 1. Długość krzywej Pokażemy teraz, jak z definicji (6) lub — co wychodzi na to samo — z (6*)
ashmore4 8REKONSTRUOWANIEPRZESZŁOŚCI Teraz, gdy wiemy już jak archeolodzy kontroluję wymiar czasowy
więcej podobnych podstron