0532
533
Zagadnienie przedłużania funkcji
We wszystkich przypadkach, gdy u podstaw otrzymywanych wniosków leżał wzór
(13) otrzymujemy teraz istotne uzupełnienie dawnych wyników.
Tak więc przy podanych założeniach funkcja / ma różniczkę zupełną [179] nie tylko w punktach wewnętrznych obszaru M, ale i w punktach brzegu. Dla powierzchni przedstawionej równaniem z=/(y, y) możemy mówić o płaszczyźnie stycznej [180] nawet w punktach konturu.
Na wzorze (13) oparta jest także reguła różniczkowania funkcji złożonej [181]. Jeżeli funkcje
(14) x=(p(t), y=y(t) (t0^t^T)
mają pochodne, i punkty (ę>(t), y(t)) leżą wszystkie wewnątrz obszaru Jt, to dla funkcji złożonej z=f(ę{t), y(t)) mamy wzór
dt Jx dt Jy dt ‘
Teraz wzór ten obejmuje również przypadek, gdy krzywa (14) dochodzi do brzegu obszaru J(. Itd., itd.
Pokażemy jeszcze jeden ważny przykład nie wchodząc w szczegóły. Niech będzie dany układ funkcji
(15) x=<p{u,v), y = y(u,v)
ciągłych wraz z pochodnymi w pewnym obszarze domkniętym & na płaszczyźnie uv mającym kontur Jf, i niech w pewnym punkcie (u0, v0) tego obszaru jakobian
D(y, y)
D(u,v)
będzie różny od zera. Jeżeli punkt (u0, v0) leży wewnątrz to według twierdzenia IV z ustępu 208 układ funkcji (15) można odwrócić tak, że w otoczeniu punktu (x0, y<>)> dla którego
Xo = <?(Mo,»o)> yo^yiMo^o),
zmienne u i v stają się jednoznacznymi funkcjami zmiennych x i y:
(15*) u=X(x, y), »=ji(x,y),
ciągłymi wraz z pochodnymi. Dla wartości u, v, x, y, dostatecznie bliskich odpowiednio «o > , *o > > układy (15) i (15*) są równoważne. Korzystaliśmy z tego na przykład dowo
dząc, że powierzchnia
x=ę>(u,v), y~y(u,v), z=x(u,v),
gdzie (u, v) zmienia się w obszarze &, może być przedstawiona równaniem nieuwikła-nym w otoczeniu punktu zwykłego M0 odpowiadającego wartościom u=u0, v=v0 [228]. W punktach konturu powierzchni przeprowadzonego wówczas rozumowania nie można było stosować, bo na płaszczyźnie uv punkt (u0, v0) nie mógł leżeć na konturze obszaru 9.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
ZOBOWIĄZANIA PODZIELNE We wszystkich przypadkach, gdy świadczenie jest podzielne i występuje więcej
79 § 1. Pojęcie funkcji We wszystkich tych przypadkach długością przedziału nazywamy liczbę
525 Zagadnienie przedłużania funkcji Przyjmiemy wobec tego następującą umowę. Gdy będziemy mówili o
549 Spis rzeczy Uzupełnienie ZAGADNIENIE PRZEDŁUŻANIA FUNKCJI 257. Przypadek
79 § 1. Pojęcie funkcji We wszystkich tych przypadkach długością przedziału nazywamy liczbę b —
Image10 h(s)=G(s)-l(s) h(s) = , a po przęj śdu do funkcji oryginalnej: h(t) = jC s
23 Zagadnienia - Prognozowanie i symulacje Prognozowanie naiwne w przypadku, gdy szereg czasowy wyka
138 poetyki. Sądzić jednak można, że uzyskane odpowiedzi nie przyniosłyby we wszystkich przypadkach
J1113 ni serce ludzkie ma ten, który hojny, iecz traf we wszystkiem a przypadek władał A końca sweg
więcej podobnych podstron