059

15. Funkcje charakterystyczne

2.5.2. Rozkład gamma

Rozkład gamma definiujemy jako rozkład, którego funkcja charakterystyczna dana jest wzorem

(2.5.3)

gdzie b > 0 i p > 0.

Z porównania wzorów (2.5.2) i (2.5.3) wynika, że rozkład wykładniczy jest szczególnym przypadkiem rozkładu gamma dla b — X i p — 1. Ponadto z twierdzenia 2.5.2 wynika, że jeśli p jest liczbą naturalną n, to zmienna losowa o rozkładzie gamma z parametrami p — n, b — X jest sumą n zmiennych losowych niezależnych, o rozkładzie wykładniczym z parametrem Z, Taki szczególny przypadek rozkładu gamma nazywa się rozkładem Erlanga o n stopniach swobody.

Dla rozkładu gamma można wyznaczyć gęstość. Wyraża się ona wzorem

gdzie b > 0, p > 0, a funkcja T(p) jest określona wzorem

r(p) = / x^p~^le~^xdx 0

i nosi nazwę funkcji gamma Eulera¹¹. Funkcja gamma Eulera nie jest funkcją elementarną. Ma jednak ciekawą (i całkiem elementarną) własność, V(p-\-1) = pV(p), która pozwala ograniczyć się jedynie do znajomości jej wartości dla 0 < p ^ 1. Proste obliczenia pokazują też, że F(l) — 1, skąd łatwo już otrzymać wzór: F(n) — (n— 1)! dla naturalnych n.

2.5.3. Zadania

2.5.1.    Znaleźć funkcję charakterystyczną rozkładu jednostajnego na odcinku

[0,1].

2.5.2.    Korzystając z wyniku zadania 2.5.1 i własności funkcji charakterystycznych, znaleźć funkcję charakterystyczną rozkładu jednostajnego na odcinku [a,b\.

ⁿLeonhard Euler (1707 - 1783), szwajcarski matematyk, fizyk i astronom, autor blisko 900 prac naukowych obejmujących prawie wszystkie współczesne mu działy matematyki i fizyki.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
60 2. Zmienne losowe 2.5.3.    Korzystając z funkcji charakterystycznej rozkładu N(0,
rpism -    jak obliczać rozkład p-stwa na podstawie funkcji charakter stycznej 7 jak
15. Hormony: definicje, wydzielanie, funkcje. Charakterystyka fizyczna i chemiczna. Mechanizmy dział
50 2. Zmienne losoweZadanie 2.4.4. Korzystając z funkcji charakterystycznej zmiennej losowej X o roz
przewodnikPoPakiecieR5 142 Wybrane procedury statystyczne Funkcje do generowania liczb i wyznaczani
BadaniaMarketKaczmarczyk08 Rysunek 5.15 Cztery funkcje charakteryzujące analizowane trendy a) funkcj
Dokument (15) jUdbrie. 2W Rodzaj DNA Miejsce występowania Funkcja Charakterystyka DNA głównej
LastScan10 (15) uMiii 3.3.1. CHARAKTERYSTYKA WYBRANYCH ZANIECZYSZCZEŃ WÓD Wśród licznych zanieczyszc
img188 9.3 Badanie charakteru rozkładu 9.3.1    Uwagi wprowadzające W wiciu metodach
img327 k Wartości funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego dla n * p = 3 Wartości /.
Rysunek 15: Funkcja przynależności trapezoid * gauss Rysunek 16: Funkcja przynależności complement(g

więcej podobnych podstron