138 139 (3)
Uti
Przestrzenie euklidesowe
b) Oznaczmy symbolami t>i, i2, v3 kolejno generatory przestrzeni Eq. Jest to baza ortogonalna tej przestrzeni, gdyż (vj, v?) = (Si, 53) = (*2, £3). To oznacza, że
lu «i) ^ ( u, v2) _ (tt, v3),
«C = ,, J - |2 1>I 4 —_-^T *2 + v3
!łt?i li
c) Bazę ortonormalną przestrzeni stanowią tu wektory <?i, 03. es należące do bazy standardowej przestrzeni Es. Szukamy rzut ma zatem postać
tio = («. €i)«j 4 (u, e3) e3 4 [*, e£) e5 = [1,0, 3,0,5).
dl Oznaczmy gx = J, g7 = sin 2x Oczywiście X g2 więc. szukany rzut fc funkcji / obliczamy ze wzoru
sin 2z.
iis.r ii9.ii
e) Niech qt = r — 1, <y2 = S*2 — 5z 4 1 Łatwo się przekonać, ze (qx, q7) = 0. Rzut ortogonalny p0 wielomianu p ma więc postać
Po=HF,,+ iftTrłł = ^~1)+?(3t5_6l + l)s0-• Przykład 14.4
Stosując macierzowy wzór na rzut ortogonalny znaleźć rzuty ortogonalne w odpowiednich przestrzeniach 2T podanych wektorów' u na podprzestrzeń
lin {«i, t?2, • ■ 1 ®fc} :
a) u =(10,2 1), 5, =(1,1,2) ć2 = (1, 1,-2);
b) u = (1,4,0, —2), 5, = (1,1,0,2), V2 = (1,0,1,0), S3 = (0,1,2,1).
Rozwiązanie
Niech A będzie macierzą wymiaru m xn o liniowo niezależnych wektorach kolumnowych. Wówczas rzut ortogonalny w przestrzeni E'71 wektora kolumnowego fi na podprzestrzeń rozpiętą na kolumnach macierzy A ma postać J3q = AXo, gdzie Xq = (./lr.4) A' B jest wektorem współrzędnych tego reutu w bazie wektorów kolumnowych macierzy A. Wykorzystując powyższy fakt mamy
1
a) A =
1
2
Czternasty tydzień --przykłady
- -
więc
13
11
Rzutem ortogonalnym jest więc wektor Uę = (6,6,1).
b) A =
|
110" |
' 1 ' | |
|
1 0 1 |
II |
4 |
|
0 1 2 |
0 | |
|
.201. |
. -2 . |
, zatem
Rozwiązanie
Niech AX = B będzie sprzecznym układem m równań liniowych z n niewiadomymi, przy czym rz A = n. Przybliżone rozwiązanie Xo tego układu równań wyznaczamy metodą najmniejszych kwadratów w taki sposób, aby wektor AXq £ Em znajdował się najbliżej wektora B 6 £1n. Będzie tak, gdy wektor AXo będzie rzutem ortogonalnym wektora B na podprzestrzeń generowaną przez wektory kolumnowe macierzy A. Metoda ta ma praktyczne zastosowanie wtedy, gdy z przesłanek fizycznych wynika, że jedyne rozwiązanie układu równań istnieje, zaś przybliżone dane doświadczalne obciążone błędami pomiarów prowadzą do sprzecznych układów równań.
a) Rozważany układ równań jest sprzeczny, zaś rząd macierzy tego układu jest równy liczbie niewiadomych. Przybliżone rozwiązanie (zo.yo) tego układu wyznaczamy jako współrzędne rzutu ortogonalnego io wektora u = (5,4,1) na podprzestrzeń V genero-
X0
('1102' 10 10
.0121.
|
110" |
\ |
|
l 0 1 | |
|
0 1 2 | |
|
2 0 1 J |
/ |
110 2 10 10
0 12 1
|
'6 |
1 |
3 ' |
-i |
' 1 ' |
1 |
' 8 |
0 |
-4 ' |
' 1 ' |
1 |
' 0' |
_ 1 |
'0' | ||
|
_ |
1 |
2 |
2 |
1 |
0 |
27 |
-9 |
1 |
9 |
1 | |||||
|
.3 |
2 |
6 . |
. 2 . |
“ 35 |
. —4 |
-9 |
11 . |
.2 . |
36 |
.9. |
~~ 4 |
. 1. |
więc
Bo =
|
'110' |
r n i |
' 1 " | ||
|
1 0 1 |
1 |
u 1 |
_ 1 |
1 |
|
0 1 2 |
4 |
. 1 . |
“ 4 |
3 |
|
to o |
1 |
Rzutem ortogonalnym jest więc wektor Ud =
)■
f X + 2y = 2 c) < 2x -f y = 8 [ 3x + y = 1
Przykład1 14.5
Metodą najmniejszych kwadratów znaleźć przybliżone rozwiązania podanych układów równań
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
*opisowe: zaproponować oznaczenie aktywności właściwej enzymu kat. reakcje A->B, wiedząc że Jest
PRZESTRZEŃ GEOGRAFICZNA Przestrzeń geograficzna- jest to zbiór obiektów geograficznych miedzy którym
PRZESTRZEŃ GEOGRAFICZNA Przestrzeń geograficzna- jest to zbiór obiektów geograficznych miedzy którym
Obszar pracy Obszar pracy (przestrzeń robocza) - jest to zbiór punktów, na które pracownik oddziałuj
KRYTERIUM KRYTERIUM Czyn zabroniony/ czyn społecznic Przestępstwo skarbowe jest to CzZ przez kodeks
oznaczającego część przedmiotu, który się ma na myśli. Jest to całości (łac. pars pro toto)113. więc
b) przestań przyrodniczą- jest to obiektywnie otaczająca nas rzeczywistość ze
Obraz (558) 138 KR YSTY NA KRA LKO WSKA-GĄ TKO WSKA ewolucyjnych przeobrażeń świata. I jest to kolej
CAM03746 wysokości 1mm.1. OZNACZENIE GRANICY PŁYNNOŚCI WEDŁUG CASAGRANDE’A Oraniu płynności (wl) jes
więcej podobnych podstron