Analiza Matematyczna Rachunek Różniczkowy Funkcji Jednej Zmiennej

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki Informatyka

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Zad. 1. Oblicz pochodne funkcji z definicji:

1. y = Vx 2. y = x⁴ 3. y = cos 3x

Zad. 2. Oblicz pochodne funkcji:

x 1 — x

1. y = arc sin , - + arc cos

VT

+ X

2. y = arc tg ^jx²J^- + (cos x)

5. y = log,x^x

’ = lnye*Vl

+ e

₄.

7. y = arcctgctghx - log₂ log log₅ x² g ^ ₌ _L^. ₊ *^1-x² je^parcsi"^x

2sm2x *

6. y = lntg-+ —5

4 8

9. y = y[x+x*‘

-(x + l)^fc(x+l)i¹”²¹ log_x lnx

Zad. 3. Oblicz granica funkcji: 1. lim (tg x)^tg2x

arc sin x

4. lim(l-x)tg—

x-»i 2

2. lim^gOTr)¹¹

x-»l⁺

_ .. ln(cos²x)

5. hm—i--z

(sin x)²

3. limf— -*-*-\lnx lnx

6. lim

X->1 7tX

^tgT

7. limxln[l+ sin —

^ x_r

₁₀. limiiiin)

13. lim (e^x - l)ln(tg x)

x->0⁺

16. limU/*-lnx)

x~>oo' '

19. lim x ctgh x

8. lim

9. lim

x^x -1

11. lim (x - af"

, . .. sinhx

14. hm-

17. lim

x—>~0

x + e^x

'1 l \

*-»• ln x 12. lim (sin X)*®*

x->—

15. lim(2-x)'⁸T

yx² sin² xy

18. lim

X-><®

x - x^z lnl 1 + —

e^x -1 20. lim-

^x~>° sin 2x

21. lim

*->on x

Zad. 4. Wyznacz asymptoty funkcji: 1. y = xarctgx

2. y = xln

3. y = x + -Jx² +1

4. y = xln

x -2

5. y = 2x + xarctg—x

6. y = xe* +1

Zad.5. Wyznacz ekstrema funkcji oraz zbadaj jej monotoniczność:

1.	y = (r² - 2x)lnx - ^-x² + 4x	2.	y = (7 + xfj\ 1 - 3x	3.	1 y = ₇x
4.	y = x-ln(l + x)	5.	y = x-In(l+x²)	6.	y = x^x
	³-²	8.	1	9.	y = ln(l
7.	y = e ^x	8.	y = 2x⁵e*
10.	y = x + sin²2x	11.	y = (x-5)^/(x + ¹)²	12.	y = ln³;

⁷ —x³3

13. y = 2* -x41n2

Zad. 6. Sprawdź, czy funkcja spełnia podane równanie:

1. y = e^x sin x y' + 2y' + 2y=0 2. y = V2x-x²

y"y' + l = 0