10. Wyznaczyć kwadraturę 4-punktową (3. stopnia) Gaussa. Obliczyć za jej pomocą całkę

J 3 -5 sin

^ 7DC^

dx.

v

Kwadratura 4-punktowa: I(/) = AJxq) + A \f(x\) + Ai/{xi) + Ayf[x₃). Dla kwadratury Gaussa procedura jest następująca:

a) Obliczamy N + 2 wielomianów ortogonalnych - u nas będzie to 5 wielomianów (od 0-wego do 4-tego),

2i-l    i-1 „

bo N = 3. Najłatwiej - wielomiany Legendre’a: Po = 1, Pi = x, P_t = —_:—x • P

/-i

1

■ i-2

=> ^p2 =

2-2-1    2-1    3 ₂ 1

--x-x---1=—x--, P, =

2    2    2 2 ³

2-3-1 (

-x -

3 V.

3-1    5 ₃ 3

--X — — X X,

3    2    2

2-4-1

4

-x

35 ₄ = —x 8

b-a

a + b

15 ₂    3

— x + -4    8

b) Kwadratura 4-punktowa Gaussa dla wielomianów Legendre’a ma postać:

I (/)

b-a

AJ

-x₀ +•

3    (b

+ - + AJ -

■ a

-x₃ +-

V

(4 składniki, każdy odpowiada kolejnemu węzłowi od 0-wego do 3-go) c) Węzły są pierwiastkami najwyższego wielomianu ortogonalnego - u nas P4.

35 4    15 ->    3

— x--x“ +- = 0

8    4    8

Xn

2-

35

= -0,861, x, = -

-J~A =

2-

35

= -0,340 , x₀ =

-■JT,5

2 • — 8

= 0,340,

Xa

+

2-

35

= 0,861

d) Współczynnik /1₇ =

a

N

k

N-1

^aN-\ V'_N(^Xi)VN-1(*/)

, gdzie:

-    a,M - współczynnik o najwyższej potędze w najwyższym wielomianie - u nas w Pą, więc an = ³⁵/s;

-    - współczynnik o najwyższej potędze w przedostatnim wielomianie - u nas w P₃, więc <x\'-i = ⁵/i',

-    || '//v-i||² - kwadrat normy przedostatniego wielomianu, u nas Py, dla wielomianów Legendre'a

2    2

|PJ“ =——— (nonua liczona bez zamiany przedziałów - inaczej, niż w zad. 7! - wypada tu czynnik

2i +1

a-b    . u ,,2    2    2

—— ), więc P₃ =

2-3 + 1    7

35    15

-    i//’n - pochodna ostatniego wielomianu (P ’₄) po x kolejno dla x = xo, ..., x₃: P\ = —x~ - — x,

-    1//N-1 - wartość przedostatniego wielomianu (P₃) kolejno dlax = xo, ...,x₃.

35    2

8    7    ²

Stąd Aj =

5x,²(7x,² -3)(5x,² -3)

A o = A(x 0) = 0,3479, A, = A(x,) = 0,6521, A₂ = A(x₂) = 0,6521, A₃ = A(x₃) = 0,3479