232

CIĄGI

Liczba g jest granicą nieskończonego ciągu (a_n), czyli lim a_n = g wtedy i tylko

n — oo

wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej a istnieje taka liczba naturalna k, że dla wszystkich n takich, że n^k:

\a_n -g\ <£

Uwaga. O granicy ciągu możemy mówić tylko wtedy, gdy rozważamy ciąg nieskończony.

Ćwiczenie B. Granicą ciągu a„ = 3- ~ jest liczba g = 3.

a)    Oblicz dla kilku wyrazów tego ciągu, ile wynosi różnica \a„-g\.

b)    Znajdź taki wyraz aj-, że wszystkie wyrazy następujące po nim różnią się od granicy ciągu o mniej niż

Ciąg, który ma granicę, nazywamy ciągiem zbieżnym.

Ciąg, który nie ma granicy, nazywamy ciągiem rozbieżnym. Poniżej podajemy przykłady czterech ciągów rozbieżnych.

Ten ciąg nie ma granicy, gdyż nieskończenie wiele wyrazów leży dowolnie blisko liczby 1, ale również nieskończenie wiele wyrazów leży dowolnie blisko liczby -1. Jest to ciąg rozbieżny.

b_n = _v n

1, V2, V3, 2, ...

Prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (poza czterema początkowymi) są większe od 2. Prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (poza dwudziestoma pięcioma początkowymi) są także większe od 5.

b„

M

Ogólnie dla dowolnie dużej liczby M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (poza skończoną liczbą początkowych) są większe od M. O ciągach, które mają tę własność, mówimy, że są rozbieżne do +oo. Możemy więc zapisać równość:

lim Jn = +oo

n—co