CCF20091117 019
71
GRANICE FUNKCJI - DEFINICJE
Niech funkcja f będzie określona w przedziale (a\xo), gdzie a < xo. Liczba g jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie xo, czyli lim f(x) = g, jeśli dla każdego
X-XQ
ciągu argumentów (x„) zbieżnego do xo o wy razach mniejszych od xo odpowiadający mu ciąg wartości funkcji (f(x„)) jest zbieżny do g.
Niech funkcja f będzie określona w przedziale (x0;n), gdzie a > xo. Liczba g jest
granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0, czyli lim f(x) = g, jeśli dla każdego
*-xo
ciągu argumentów- (x„) zbieżnego do xo o wyrazach większych od xo odpowiadający mu ciąg wartości funkcji (f(xn)) jest zbieżny do g.
.Analogicznie określa się granice jednostronne niewłaściwe. Podobnie jak poprzednio, wystarczy w7 powyższych definicjach zastąpić liczbę g symbolem +oo (lub -co), a zbieżność ciągu wartości zastąpić rozbieżnością do +oo (lub do -<»).
Związek między granicami jednostronnymi a granicą funkcji opisują twierdzenia:
Jeśli istnieje granica funkcji f w punkcie xo, to istnieją też granice lewostronna i prawostronna tej funkcji w punkcie xo i wszystkie te trzy granice są równe.
Jeśli istnieją granice lewostronna i prawostronna funkcji f w punkcie xo i granice te są sobie równe, to istnieje też granica funkcji f w tym punkcie i jest ona równa granicom jednostronnym.
Jeśli literą g oznaczylibyśmy granicę funkcji, właściwą bądź niewłaściwą, to obie te implikacje moglibyśmy zapisać w skrócie w7 następujący sposób:
lim f (x) = g wtedy i tylko wtedy, gdy lim_ f (x) = lim f (x) = g
X~XQ x—x0 x~xo
Podane w7 tym rozdziale definicje granic funkcji sformułował niemiecki matematyk Eduard Heine (1821-1881) (czyt. hajne). Przedtem inne definicje podał francuski matematyk Augustin Cauchy (1789-1857) (czyt. koszi).
Definicja Cauchy’ego granicy właściwej funkcji w +oo jest następująca:
Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f w7 +oo, gdy dla każdego s > O istnieje taka liczba M, że jeśli x > M, to wartość f(x) różni się od g o mniej niż e (czyli jeśli x > M, to \f(x) -g\ < e).
Można udowodnić, że definicje Heinego i Cauchy’ego są równoważne.
J
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
81851 img439 (2) DEFINICJA B. Niech funkcja / będzie określona w przedziale (—00, k), (odpowiednio w
77157 img425 (4) DEFINICJA 3. Niech funkcja / będzie określona w sąsiedztwie S(x0) punktu x0. Funkcj
CCF20091117 017 69 GRANICE FUNKCJI - DEFINICJE Korzystając z definicji, można także wykazać, że dana
Daaa? 6. Pochodna kierunkowa. Niech funkcja f będzie określona w otoczeniu punktu
CCF20091117 012 62 GRANICE FUNKCJI. POCHODNE Przyjrzyjmy się teraz kolejnej parze wykresów funkcji.
CCF20091117 013 63 GRANICE FUNKCJI - INTUICJE • się zdarzyć, że funkcja jest określona w punkcie xo,
CCF20091117 018 70 GRANICE FUNKCJI. POCHODNE Podobnie za pomocą ciągów możemy określić granicę dowol
CCF20091117 022 74 GRANICE FUNKCJI. POCHODNE Gdy funkcja jest ciągła w pewnym przedziale, to jej wyk
Purrint006 https://edu.pjwstk.edu.pl - Edukacja - Mozilla Firefox i Niech funkcja będzie określon
Niech funkcja /: / x R —* R będzie określona wzorem: oraz t = 0. l 0, t = 0. Rozważmy następujące
CCF20091117 010 60 GRANICE FUNKCJI. POCHODNEGranice funkcji - intuicje Rozważmy następującą sytuację
więcej podobnych podstron