Egzamin 11 12

Egzamin pisemny z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2011/2012

ZADENfA " ' " “ ' ““

Zad.Zl (7p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Wiedząc, że /(.r, y, i) = xsin 2y 4- z²e^T - z cos y + bx² + 3 , jest potencjałem pola wektorowego F, wyznaczyć pole F, sprawdzić, czy jest ono bezźródłowe oraz obliczyć / For, gdzie L jest

lukiem o parametryzacji a’(f) = ln(t +1), y(t) = arcctg t, z(() = t² - 1, t E (0,1) zgodnej z orientacją.

Zad.Z2 [7p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Obliczyć moment statyczny względem płaszczyzny OYZ łuku L o parametryzacji x{t) = c^l, y(0 = e~^l, z{t) = y/2 t, t € [0, In2) , jeżeli gęstość q{x>y>z) - x + y.

2ad,Z3 [Sp - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Obliczyć krzywiznę i promień krzywizny oraz skręcenie w punkcie t ~ n cykloidy o równaniu:

x(£) = a(t - sini). y{0 = g(1 -cosf), a > 0.

Zad.Z4 [10p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

09 (—l)ⁿXⁿ

Dany jest szereg potęgowy £ -rr • Wyznaczyć promień zbieżności, przedział zbieżności,

n-1 3ⁿ(n 4- 1)

zbadać zbieżność (określić jej rodzaj) w prawym krańcu przedziału zbieżności. Obliczyć sumę szeregu wewnątrz przedziału zbieżności oraz (o ile to możliwe) również w prawym krańcu. Zad.Z5 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 5)

Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X typu ciągłego

' 0 sin² 2

F(x)

x 0 0 < z ^ | 2> |

Obliczyć: a) P(X ^ |), b) wartość oczekiwaną EX, c) E(3X - |).

Max. 40 pkt

TLT5KIA-------------------

Zad.Tl [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1)

Napisać definicję zbieżności szeregu liczbowego. Korzystając z definicji znaleźć sumę szeregu 1

r>=i n(n •+■ I)

Zad.T2 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 1)

Sformułować kryterium całkowe zbieżności szeregu. Czy można zastosować kryterium całkowe

CO (-1)*

do badania zbieżności szeregu £

n=l

n‘

Zad.T3 [6p - rozwiązanie piszemy na stronie 2)

Podać twierdzenie o rozwijaniu funkcji /(x) w szereg Taylora. Rozwiąć f(x) i f'(x) w szereg Taylora w otoczeniu punktu io 1, jeżeli f{x) =

Z_ąd.T4 (4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Zmienna losowa skokowa X ma rozkład Bernouliiego z parametrami n = 300 i p = 0,01. Obliczyć EX i D²X. Za pomocą tablic obliczyć wartość prawdopodobieństwa P(X < 2).

Zad T5 (3p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(3,1) . Dokonać standaryzacji zmiennej losowej X. Za pomocą tablic obliczyć P(1 < X ^ 7).

Max. 20 pkt