mat1

mat1



56 I. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ

Korzystając z (1.4.22), (1.4.24) oraz (1.4.25) możemy zapisać równość (1.4.21) następująco

K

f sinx r . „

2i J —— dx = ki - Ir - IR    (1.4.27)

r

Jeżeli r -> 0+, to wobec (1.4.23) Ir -* 0, więc prawa strona równości (1.4.27) dąży do ni—JR. Do tej samej granicy dąży zatem lewa strona tej równości, czyli

R

f sin* ,    . „

21 J —~dx = ™-Ir    (1.4.28)

o

Jeżeli R -* +co, to wobec (1.4.26) IR -> 0, więc prawa strona równości (1.4.28) dąży do ni. Stąd

+ oo    +oo

. f sinx    .    .    r sin a: , n

2i J —-—dx = ni, więc ostatecznie J ---dx = —

o    o

Wnioski. Z parzystości funkcji podcałkowej wynika, że

+ 00

/


sin x


dx = n


(1.4.29)

Ponadto, podstawiając u = ax, otrzymujemy dla każdego ae R — {0}

+ 00

/sin ax ,

-——— dx — n sgn a

Wzór ten jest także prawdziwy dla a - 0. Można z niego wyprowadzić wiele interesujących wniosków, na przykład

+ 00

r f sinax — sin óx .

I„,b = I---dx - n (sgn a — sgn b)

dla każdych a, be R. Zachęcam Czytelnika do zaznaczenia w układzie współrzędnych Oab wartości funkcji (a, b) -* u = I„ib. Czy jest to funkcja ograniczona? Czy jest ciągła?

Uwaga. Całka

+ co

/


dx


COS X

jest rozbieżna. Wynika to (dlaczego?) z następującego rachunku: niech 0 < * < -y

00


J x    J 2x 2 \    3    / £—»o +

Istnieje natomiast częićgłówna całki w sensie Cauchy’ego (valeur principale de Cauchy — skrót v.p.). Dla każdego a > 0 mamy bowiem (0 < e < a < R)

v.p. 7    lim ( ™L!Ldx+ fJS2LŁ<l«\ +

j X df £-.0 + \ J X    J X J

oo    —    «    e

+ lim ( f“-S°L*.dx+ f-™±dx) = lim 0 + lim 0 = 0

jR“* + oo \ *^    ^    a ^    8~*0+    K-* + co

ponieważ funkcja podcałkowa jest nieparzysta. Z równości (1.4.29) wynika oczywiście, że

+ oo    +R

C    sin x ,    f    sin x ,

v.p. I -dx — lim I -dx = k

J x df R- + oo    x

/udania do samodzielnego rozwiązania

6. Obliczyć całkę

dla *<<'<*

— 00

metodą residuów oraz metodą klasyczną opartą na definicji całki niewłaściwej. Wyznaczyć i narysować zbiór wszystkich par (a, b),0 < a < b, dla których spełniona jest nierówność Ia b < 7t.

7. Obliczyć całkę 2%

I = j e5,n * dx o

a) metodą residuów, b) korzystając z wartości całki (1.4.17).

8. Obliczyć całkę

dz


sin z

|*+M = i (1+z2)2

9. Obliczyć całki

a) It — fi z enI ctg z dz,    b)/2 = £ z e,ni ctg z dz

|r| = 4    1*1=4

gdzie n e N. Udowodnić, że dla każdego n e N |/j| < 2tc2 e"*

10. Obliczyć całkę

2n

I — J cos (sin x) dx

Q


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
mat1 56 I. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ Korzystając z (1.4.22), (1.4.24) or
mat0 54 1. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ przy czym A    1 l 1
mat2 58 1. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ1.5. Odwzorowania konforemne Zbiory
mat4 62 I. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ Na rysunku 1.5.7 zilustrowano to od
mat0 54 1. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ przy czym A = 1 43(3 !)2 44(4!)2 1
mat4 62 1. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ Na rysunku 1.5.7 zilustrowano to od
mat9 72 1. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ Odwzorowanie w3 = w* przekształca t
mat3 60 I. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ / /yi or=argf (z0) Rys. 1.5.5 Na ry
mat5 64 . WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ obraz w przebiega dodatnią półoś uro
mat6 66 I. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ Łuk ten jest półokręgiem o środku S
mat7 68 . WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ ) Rys. 1.5.13cc Imw Irrmj Re w z Uwa
mat8 70 J. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ Uwaga. Jeżeli warunki 3°-5° zastąpi
mat9 72 1. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ Odwzorowanie w3 = w przekształca te
v.paragraf34.pl TrenfH Wymagania i zadania Przykłady rozwiązań i
•! GEOMET R( A AK ALITY CZNA PODSTAWOWE WIADOMOŚCI TEORETYCZNI-ZADANIA
“25T Lokalne foldery Wiadomość Wydarzenia i zadania Enigmail Narzędzia Pomc O wycena plakatów oraz
Plik Edycja Widok Przejdź Wiadomość Wydarzenia i zadania Enicjmail Narzędzia Pomoc O wycena plakatów
Matematyka 2 3 142 III. Rachunek całkowy funkcji wiciu zmiennychRys 1.6. ZADANIA DO ROZWIĄZANIA. I

więcej podobnych podstron