str028
6?
Ciągłość funkcji fn wynika z inkluzji
(A„ Cl Bn) A (.4 D B) C (.4„ A .4) U (Bn A B) dla n £ W.
Ciągłość funkcji /3 wynika z inkluzji
(A„ A Bn) A (4 A fl) C (An A .4) U (B„ A B) dian € W.
Ciągłość funkcji / wynika z równości
An A A = {X-An) A (X - A) dla n £ N.
131. Załóżmy najpierw, że u jest ciągła w 0. Zatem dla dowolnego s > 0 istnieje taka 6 > 0, że jeśli B £ 5J1 i p(B) < 6, to i/(J3) < t, Niech A £ flJt. Rozważmy zbiory B £ £0t takie, że /j(A, B) < ć. Zatem /i(A - B) < S i p(B - .4) <5, a więc i/(.4 - B) < | i i/(B - A) < §.
Zauważmy, że
K-4) - i/(B)| = |u(A) - u(AUB) + i/(4U B) - u(B)\
<iĄAl)B)- v(A) + i/(.4U B) - v(B) = ĄA - B) + u(B - A) < t.
Zatem u jest ciągła w A, a więc dla dowolnego t > 0 istnieje S > 0 taka, że dla dowolnego B £ £Ut, jeżeli p(A,B) < 6, to |u(A) — u(B)| < Niech E € OT będzie takim zbiorem, że p(E, 0) < 5, czyli p(E) < <5. Wtedy p(A, A U E) < 6 i p(A, A - E) < 6, więc i/(A U E) - u(A) < j i x/(A) - i/(A - E) < Sj. Ponieważ u(E) = v(A U E) — v(A - E), więc u(E) < £, co oznacza ciągłość i/wi.
132. Należy wykazać, że dla dowolnego ciągu {A„}„£h takiego, że .4„ 6 101 dla n £ N, At C\Aj =0 dla i j, i £ N, j £ N,
oo oo
p(U Ai) =Z)M^k)-
Ł=1 k = l
Zauważmy, że z warunku 2) wynika równość
W ^(U-40 =Y,tiAk) + l*( U Ak)'
ta 1 fc = l tan
Niech Bn = UfcLn - Ciąg {£«} „£H jest zstępującym ciągiem zbiorów. Przypuśćmy, że x0 £ linn_eo Bt, więc i0 £ lT=i Uk=n At = nrn„_«,A„. Zatem xq należy do nieskończenie wielu zbiorów ciągu {A„}„eHi co jest niemożliwe, więc limn_oo Bu = 0. Na podstawie warunku 3) otrzymujemy lim„-.co p( Uk=n -^fc) = 0. Stąd i z warunku (*) otrzymujemy, że p jest miarą.
133. Z definicji p wynika, że spełnione są warunki 1) i 2) z zadania 132. Aby udowodnić, że /a jest miarą, należy sprawdzić, że zachodzi warunek 3) z zadania 132.
Ponieważ i/„ jest miarą dla dowolnego n £ N, więc jeżeli {£i-}jt€H jest takim zstępującym ciągiem zbiorów należących do OT, że lim*_eo Et = ®. to limi,_O0 Vn{Ek) — 0 dla n 6 N. Niech będzie dane s > 0. Niech no będzie taką liczbą naturalną, że < 5. a taką liczbą naturalną, że
dla k > k0, k S M.
Y'1 un(Ek) £ 2»(l + i/„(-Y)) 2
Z powyższych nierówności wynika, że lims_M p(Et) = 0. Wykazaliśmy, że n jest miarą.
Wykażemy teraz, że dla dowolnego n g M, v„ jest funkcją ciągłą w (OT,p). Niech będzie dane s > 0. Połóżmy S = Zauważmy, że jeśli E jest dowolnym
zbiorem z OT takim, że /i(£) < 6, to i/n(£) < s. A zatem i/„ jest ciągła w 0, skąd na podstawie zadania 128, vn jest ciągła.
134. Niech fi(A) = £“=1 'H vu dla A 6 Rozważmy przestrzeń
(OT,p), gdzie p(A,B) = p(A A B). Przestrzeń (031, p) jest przestrzenią zupełną (patrz zadanie 127). Na podstawie zadania 133 funkcje t/„ są ciągle, zatem funkcja v jest I klasy Baire’a. Zbiór punktów nieciągłości funkcji v jest więc I kategorii. Istnieje zatem zbiór de® taki, że v jest ciągła w A. Na podstawie . zadania 131 funkcja u jest ciągła w 0. Bezpośrednio z definicji funkcji u wynika, —rie spełnia ona warunki 1) i 2) z zadania 132. Wystarczy zatem wykazać, że jeśli {^n}nesJest zstępującym ciągiem zbiorów takim, że E„ £ SR i lim,,™,*, E„ = 0, to linin—co p{ En) = 0. Z ciągłości funkcji v w 0 wynika, że dla dowolnego t > 0 ^ istnieje 6 > 0 taka. że dla .4 £ OT, jeśli /i(A) < 5, to i/(A) < £, Stąd istnieje liczba ko £ N taka, że dla dowolnego k > Jb0 i k £ N, fi(Ek) <6, a więc i/(Et) < e. Z ostatniej nierówności wobec dowolności £ > 0 otrzymujemy limi!_co i'(Et) = 0. Spełniony jest więc warunek 3) z zadania 132, a więc v jest miarą.
135. Zbiór A można przedstawić w postaci A = Aj U Aj, gdzie A\ H-Aj = 0, 0 < p(A\), 0 < p{Ai). Jeżeli n{A{) > b i n{Aj) > b, to postępowanie to powtarzamy, zastępując zbiór A na przykład zbiorem Aj. Po skończonej ilości takich podziałów otrzymujemy zbiór Bi C A taki, że 0 < p(Bi) < b. Zadanie sprowadza się do zbudowania takiego zbioru Bo C A-B\, aby p(Bo\ = fc-ji(Bi). Zbiór ten skonstruujemy ża pomocą indukcji pozaskończonej.
Dla n = 1 został już skonstruowany zbiór Bi. Załóżmy, że dla wszystkich liczb porządkowych /} < a, gdzie a < f?, i? jest najmniejszą nieprzeliczalną liczbą porządkową, zostały już skonstruowane zbiory Bp tak, że U/3<a C A i 0 < P(Up<t»£d) < & ‘ {R(j}/S<a etanowi ciąg zbiorów parami rozłącznych. Wówczas konstruujemy zbiór Ba tak, aby Ba C A-(J^<a Bp, 0 < n(Ba) < Bfi)-
Jeżeli dla dowolnego a < fl możemy skonstruować zbiór Ba taki, że spełnione są powyższe założenia i n(Ba) < &-m(U(3<o bp)< t0 można wówczas skonstruować W analogiczny sposób zbiór Bn i otrzymujemy nierówność p((jp<n Bp) < b. Otrzymaliśmy więc, że zbiór miary skończonej zawiera nieprzeliczalną ilość rozłącznych zbiorów miary dodatniej, co jest niemożliwe. Zatem istnieje takie a0 < ft, że
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
str028 62 Ciągłość funkcji /3 wynika 2 inkluzji (A„ Cl B„) A (.4 n B) C (A„ A .4) U (B„ A B) dla n €
285 § 5. Przybliżone rozwiązywanie równań Z ciągłości funkcji / W i warunku 2) wynika, że między a i
ustrój i funkcjonowanie?m pub3 al), / Ąsfl, 3^/ćł /Lo-Yłcw* o fa.due /tftfasMriO GWi P)H aMoA^o Z
6 (1570) 13. 3 punkty Naszkicuj wykresy poniższych funkcji fn : R —► R dla n = 2 (
10 (71) 222 10. Całkowanie form zewnętrznych Z reguły różniczkowania funkcji złożonej wynika, że (69
DSC02990 MAKROOTOCZENIE MAKROOTOCZENIE to zespół warunków funkcjonowania przedsiębiorstwa wynikający
Definicja makrootoczenia Zespół warunków funkcjonowania przedsiębiorstwa wynikający z działania
cover fn.c. fi&don AZ AGATHA RAISIN-SOROZAT BESTSELLER SZERZÓJfTÓLHAMISH MACBETH £S AkannibAl ho
kolo michalik Grupa A 1. Zbadać ciągłość funkcji Grupa A .dla(x.y),£(0.0), .dla (x.y)» (0,0), 2.
FUNKCJE LINIOWE, KWADRATOWE I WIELOMIANOWE • az z opisem zadań, z jakimi
MAKROOTOCZENIE - zespół warunków funkcjonowania przedsiębiorstwa wynikający z działania w określonym
Wnioski wynikające z wartości pK niektórych aminokwasów. Kluczową rolę dla biologicznej funkcji biał
cover fn.c. fi&don AZ AGATHA RAISIN-SOROZAT BESTSELLER SZERZÓJfTÓLHAMISH MACBETH £S AkannibAl ho
63385 P1000746 M Loltżc matematycznie funkcje calkow itepo i knńco\qw p Cl Co można powiedzieć o nac
więcej podobnych podstron