Wyklad (18)
18
darstellbar.
Der willkurliche Konstanten enthaltende Ausdruck (6) wird allgemeine Lósung genannt Sie bestimmt eine zweifach unendliche Kurvenschar (dwuparametrowa rodzina krzywych).
Beispiel. Die einfachste Dgl2. Ordnung ist
(7)
(8) (9)
y”=0
Integriert man sie nach dx, so gelangt man zu
y-c,
Durch nochmalige Integration
C^X + C 2
Sei nun die Anfangsbedingung
y(x0)=yo> /(*<>)=.Vo (io)
gegeben. Sie fuhrt mit (9) auf das Gleichungs-System
\C\ x0 + C2 = y0
\c\ = h
dessen Lósung (9) in eine eindeutige Funktion uberpruft.
Satz 3. Sei x0 e (a; b) und seinen _y(x0) = y0 und y'(*0) - L0 beliebig gewahlte reelle die Zahlen, so gibt es fiir x0 stets genau eine Lósung y= <p(x), der homogenen linearen Dgl (2), die Anfangsbedingungen (p{ x0)= y0, ę ’(x0)= >>0erfullt. Dies trifft auch fiir das Intervall (a;b) zu.
Bemerkung. Bei praktischen Anwendungen in Physik und Technik kommen zwei Arten von Anfangsbedingungen vor. Es wird entweder die Funktion und ihre Ableitung, wie in (10), aneiner Stelle vorgegeben oder zwei Funktionswerte an zwei Stellen d.h
;iW = Ji und y2(x2) = y2
Homogene lineare DifTerentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Bei der homogenen Dgl
y"+ay'+by = 0 (1)
mit konstanten Koeffizienten a,b kann man fur das in der vorigen Nummer genannte Intervałl (a;b) die ganze x-Achse nehmen. Wir versuchen ob der Rateansatz
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