374 Równania — Równania i zagadnienia niewyznaczone

nia F{x) — o. Jeżeli mamy dwa równania z dwiema niewiadomemi F{x,y) — o, /(Ą/j —O, w takim razie wykreśliwszy krzywe wyrażone temi równaniami, współrzędne punktów przecięć się tychże krzywych, będą pierwiastkami równań danych. Posługujemy się także trygonometrią w rozwiązywaniu równań, ku czemu służy głównie twierdzenie Moivre’a. — Równania wykładnicze mają postać najprostszą a^x = b, najłatwiej je rozwiązać za pomocą loga-

log. b

rytmów, gdyż x. log. a — log. b, zkąd x — ^    . Co się tycze równań tra._ia-

cendentalnych, tych za wielka jest rozmaitość, abyśmy mogli nad niemi zastanawiać się w szczególności, a nadto rozwiązanie ich opiera się na w-yższej analizie. Toż samo rozumieć należy o równaniach z różnic i równaniach różniczkowych.    "    J. P-z.

Równania i zagadnienia niewyznaczone. w matematyce ilością me-

wyżnaczoną jest ilość, za którą przyjąć możemy wszelką wielkość dowolną. Równaniami niewyznaczonenu nazywamy równania, których liczba jest mniejsza od liczby niewiadomych, a to dla tego, że takie równania dopuszczają dla niewiadomych nieokreśloną liczbę wartości; wziąwszy albowiem np. równanie 3£C -J- \y — 7, dla rozwiązania go trzeba 4y przenieść na drugą stronę, a uwol

niwszy X od spółczynnika otrzymamy X —

7-Ły, 3

, przypuszczając dla y rozma

ite wartości, otrzymamy wartości odpowiednie dla x, pizyjmując y~o, wypadnie x~2^lj₃₇ gdy y— 1, X—i; gdy y—2, X=—^l/_s, i t. d. równanie więc dane dopuszcza nieokreśloną liczbę rozwiązań. Zagadnieniem niewyznaczo-nem nazywamy zagadnienie, w kiórem liczba warunków posłużyć mogących do ułożenia równań, jest mniejsza niż liczba niewiadomych; w tym albowiem przypadku otrzymamy równań mniej niż niewiadomych a tern samem liczba rozwiązań będzie nieograniczona. Np. podzielić 450 groszy pomiędzy ubogich mężczyzn i kobiety, dając pierwszym po 5 drugim po 3 grosze; oznaczmy liczbę mężczyzn przez x a kobiet przez y, będzie 5 X -J- 3 y    500, zkąd y—

__5^

-—; przypuszczając x~S, otrzymamyyr=145, gdy a?—9, ^^=135; gdy

X=\a, y =z 125; gdy X = 30, y~ 100, i t d. a zatem mężczyzn może być 3, Komet 145, albo mężczyzn 9 a kobiet 135 i t. d Niekiedy zagadnienie jest tego rodzaju, że dopuszcza rozwiązania tylko całkowue i dodatne i wtenczas liczba rozwiązań bywa ograniczona; tak w powyższem zagadnieniu można dopuścić rozwiązania tego rodzaju. Mając równanie z dwiema niewiadomemi 5x— i8y—57 możemy je rozwiązać w liczbach całkowitych i dodatnych następującym sposobem z równania tego otrzymujemy 5X — 57-1-18y, czyli a? —

57 + 18 y,

czyli x — 11 -+ 3y -j-

ponieważ dla x szukamy warto-

9    9

ści całkowitej, przeto za y potrzeba podstawić taką wartość całkowitą, aby

2 —3 y

, po podstawieniu za y tejże wartości, dało wypadek całkowity; przypuść

my, że tym wypadkiem -est t₇ a

2 -+■ 3<

przeto będzie---— — t, zkąd 2 -+ Sy — 5t,

5

v =

3    '    3

uczyniwszy podobnie jak poprzednio