0096
98
IX. Całka oznaczona
10“ Uogólnione twierdzenie o wartości średniej. Zakładamy, że 1) funkcje /(x) i g(x) są całkowalne w przedziale <a, 6>; 2) m </(x) < M; 3) g(x) ma ten sam znak M’ całym tym przedziale, tzn. g (x) 5= 0 lub g (x) < 0. Wtedy
b b
j f(x)g (x) dx = p J g (x) dx ,
a a
gdzie m < p < M (‘).
Dowód. Niech będzie najpierw g (x) > 0 i a < b; wtedy mamy
mg (x) </ (x) g (x) < Mg (x) .
Z tej nierówności na podstawie własności 6° i 3° otrzymujemy
b b b
m j g (x) dx^j /(x) g (x) dx < M J g (x) dx.
aa a
Z założenia o funkcji/(x) mamy w myśl 5°
b
f g(x) dx 5=0.
a
Jeśli całka ta jest równa 0, to oczywiście z poprzednich nierówności wynika, że jest jednocześnie
b
/ /(*) 9 O) dx = 0,
a
i w tym przypadku twierdzenie jest prawdziwe. Jeśli natomiast całka funkcji g(x) jest większa od zera, to dzieląc przez nią wszystkie człony otrzymanej poprzednio podwójnej nierówności i wprowadzając oznaczenie
b
f f(x) g (x) dx
a
—i-= /'•
/ g (x) dx
a
otrzymujemy żądany wynik.
Od przypadku a < b łatwo jest przejść do przypadku a > b, podobnie jak od założenia 9(x) ^ 0 do założenia g (x) -*5 0; ani przestawienie granic, ani zmiana znaku funkcji g (x) nie naruszają równości.
Jeśli funkcja/(x) jest ciągła, to wzór ten można napisać w postaci
b b
j f(x) g (x) dx = /(c) J g (x) dx,
a a
gdzie c jest punktem z przedziału <a. ó>.
(‘) Istnienie całki z funkcji /(x) g (x) wynika z ustępu 299, II. Można by zresztą zamiast całkowa)' ności funkcji /(.r) zakładać wprost całkowalność iloczynu f(x)g{x).
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
101 § 2. Własności całek oznaczonych 306. Drugie twierdzenie o wartości średniej. Udowodnimy tu jesz
88 IX. Całka oznaczona Dla pierwszej sumy, podobnie jak w poprzednim twierdzeniu, mamy < e(b-a).
90 IX. Całka oznaczona Łatwo zauważyć że nie wywoła to zmiany wartości samej całki. Wynika to stąd,
104 IX. Całka oznaczona Podstawiąjąc wartości funkcji w lewych końcach przedziałów, otrzymujemy
140 IX. Całka oznaczona przyjmuje w punktach z = a, (a+ó)/2, b te same wartości co i funkcja/(z). Ła
82 IX. Całka oznaczona W każdym z odcinków <*,, x,+i> wybierzmy dowolny punkt x = Ę, (l): X
84 IX. Całka oznaczona Sumy Darboux mają następujące, proste własności: Własność 1. Jeśli do
86 IX. Całka oznaczona e > 0 można znaleźć taką liczbę ó > 0, że skoro tylko X < 5 (tzn. je
92 IX. Całka oznaczona Przyjmijmy teraz i _ « 2m Q ’ gdzie 12 oznacza oscylację
94 IX. Całka oznaczona 303. Własności całek wyrażające się równościami. Podamy dalsze własności
96 IX. Całka oznaczona więc analogicznie w przedziale <at, bf> możemy znaleźć podprzedział
100 IX. Całka oznaczona Ciągłość funkcji fU) w punkcie t — x oznacza, że do każdej liczby e > 0 m
102 IX. Całka oznaczona — jak to widać z założeń o funkcji /(x) są nieujemne, więc zastępując
106 IX. Całka oznaczona 308. Podstawowy wzór rachunku całkowego. Widzieliśmy już w ustępie 305, że d
108 IX. Całka oznaczona Ponieważ poszczególne składniki łatwo jest scałkować według wzoru (A), mamy
110 IX. Całka oznaczona wyjdziemy z formalnie obliczonej funkcji pierwotnej —— arc tg 3x(x2—1)
112 IX. Całka oznaczona napisać analogiczny wzór dla całek oznaczonych (5) J f(x)
114 IX. Całka oznaczona W analogiczny sposób sprawdza się pozostałe wzory. 3) Znaleźć całki n/2
116 IX. Całka oznaczona Uwaga. Zwróćmy uwagę na ważną właściwość wzoru (9). Przy obliczaniu całki
więcej podobnych podstron