0204

X. Zastosowania rachunku całkowego

w szczególności dla c = 0 jest /, = -j^-bh²;

I, = 2 / x²\/r²-(x-c)² dx = nr²c²+±¹r¹,

e-r

w szczególności dla c = 0 mamy /, = -i- 7tr ⁴,

5)    Wyznaczyć moment bezwładności bryły K rozpatrzonej w zadaniu 1) względem wymienionej tam płaszczyzny. Zastosować otrzymany wzór do wyznaczenia momentu bezwładności: (a) stożka kołowego, (b) półkuli względem płaszczyzny podstawy.

& 12

Odpowiedź: I = J x²P (x) dx; w szczególności (a) / = nR²h³, (b) / = -jy kR^s.

m

6)    Ciśnienie cieczy na dowolny płaski element pola zanurzony na głębokość h pod jej powierzchnią jest równe ciężarowi słupa cieczy o wysokości h, którego podstawą jest ten przekrój. W ten sposób ciśnienie (w kG/m²) na głębokości h (w metrach) przypadające na jednostkę pola jest równe hy, gdzie y oznacza ciężar właściwy cieczy (w kG/m³).

Zakładamy, że w cieczy zanurzona jest pionowo figura płaska AtB^Ai (rys. 46) (‘).

Znaleźć całkowite ciśnienie hydrostatyczne W na tę figurę i jego moment M względem swobodnej powierzchni cieczy.

Element powierzchni dP — O2—yi) dx doznaje ciśnienia

d,W = yx O'2-ź'i) dx, którego moment względem osi y jest równy

dM = yx²(y₂—y_t) dx.

Stąd otrzymujemy

»    11

W=y j x(yt-y_l)dx, M = y f x²(y₂ -y,) dx.

• «

Pierwsza całka przedstawia oczywiście moment statyczny M, figury względem osi y; druga zaś — moment bezwładności I, figury względem tej samej osi.

Jeśli ( oznacza odległość środka ciężkości C figury od swobodnej powierzchni cieczy, a \P\ — pole tej figury, to możemy napisać, że W = y |P| f. Środek ciśnienia, tzn. punkt przyłożenia siły równoważącej całkowite ciśnienie, jest odległy od swobodnej powierzchni o

» ₌ M_ ₌ J£LL

W Iy

Zastosujemy ten wzór do przypadku przedstawionego na rysunku 47.

W przypadku a): 5 = c, |P| = bh i W = ybhc. Dalej, ponieważ w 4) obliczyliśmy już, że

/, = bc²h+

możemy od razu napisać

f¹ ^ c+

W szczególności jeśli c = y h (tj. jeśli górny bok prostokąta leży na poziomie swobodnej powierzchni cieczy), to mamy

W=±ybh²,

1

Przyjmujemy, że oś y leży na swobodnej powierzchni cieczy.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
208 X. Zastosowania rachunku całkowego Siła ta jest skierowana wzdłuż prostopadłej do płaszczyzny
156 X. Zastosowania rachunku całkowego Na mocy (14) mamy— Kt (15) -J— dla wszystkich s. tzn. [270, (
168 X. Zastosowania rachunku całkowego j rOczywiście sumy a i .Tsą sumami Darboux dla całki J [g (Of
192 X. Zastosowania rachunku całkowego Z ostatnią całką spotkaliśmy się już w ustąpię 343,12); jest
202 X. Zastosowania rachunku całkowego Często zdarza się jednak, iż bardziej celowe jest założenie,
218 X. Zastosowania rachunku całkowego jest wnioskować, 2e wielkość sjest wprost proporcjonalna do
220 X. Zastosowania rachunku całkowego Łatwo jest wyrugować różniczkę dT. Wystarczy w tym celu
146 X. Zastosowania rachunku całkowego lub T    T(4)    AB = s — J yV2
148 X. Zastosowania rachunku całkowego że długość p* łamanej odpowiadającej temu podziałowi
ISO X. Zastosowania rachunku całkowego Dlatego jeśli będziemy liczyli łuk od wierzchołka A krzywej,
152 X. Zastosowania rachunku całkowego Za pomocą tego wzoru można już wywnioskować z trójkąta MOT [p
154 X. Zastosowania rachunku całkowego Przyjmując w przypadku granicznym (‘) 6 — -i-* i <p = -j-K
158 X. Zastosowania rachunku całkowego a więc ds = aa da.. Przyjmując a jako parametr, otrzymujemy d
160 X. Zastosowania rachunku całkowego (c) Jeśli równanie naturalne krzywej ma postać R2+k2s2 — c2,
162 X. Zastosowania rachunku całkowego lub krzywej leżącej całkowicie wewnątrz figury P (rys. 15a i
164 X. Zastosowania rachunku całkowego wielokątów z jednej strony, a punktami konturu K z drugiej st
166 X. Zastosowania rachunku całkowego Do przedziału </0, Ty i do pokrywającego go układu otoczeń
170 X. Zastosowania rachunku całkowego Zatem w kole odcinki PM i OP przedstawiają sinus i cosinus ko
172 X. Zastosowania rachunku całkowego 9) W analogiczny sposób oblicza się pole figury organiczonej

więcej podobnych podstron