0259

§ 3. Zbieżność szeregów dowolnych

381. Szeregi naprzemienne. Zajmiemy się teraz szeregami, których kolejne wyrazy mają na przemian znaki dodatni i ujemny. Szeregi takie wygodnie jest zapisywać w ten sposób, żeby znaki były wyraźnie wskazane, na przykład

(7)    Ci-Ci+Cs-c^ ... +(-l)"-¹c„+ ...    (c, > 0).

Jeżeli ponadto bezwzględne wartości wyrazów takiego szeregu maleją monotonicznie

(8)    c_n+1 < c_K (n = 1,2,3,...) i dążą do zera

lim c_n = 0 ,

to szereg nazywa się naprzemienny.

Dla szeregów naprzemiennych zachodzi następujące proste twierdzenie:

Twierdzenie Leibniza. Szereg naprzemienny jest zbieżny.

Dowód. Sumę częściową parzystego rzędu C_2m można napisać w postaci C2m = (^cl ^— C₂) + (c₃ — ^c*)+ ••• +(^c2m-l ^—c2m) •

Każdy z tych nawiasów jest na mocy (8) liczbą dodatnią, wobec tego widać stąd jasno, że wraz ze wzrostem m rośnie także suma ^'2m‘ Jeżeli z drugiej strony przepiszemy C_2m w postaci

C₂m — Ci—(C₂ —C₃j— ... —(,C_2m-₂ — C_2m-₁) — C_2m,

to łatwo widać, że sumy C_2m są ograniczone od góry

Cjm < ^C1 •

W takim razie na mocy twierdzenia o ciągu monotonicznym [34] suma częściowa C_2m ma przy nieograniczonym wzroście m granicę skończoną

lim C_2m = C.

m-co

Przejdźmy do sumy częściowej rzędu nieparzystego C₂m-1 . Będzie oczywiście ^2m“l — = Clm +c_2m. Ponieważ wyraz ogólny dąży do zera, jest także

lim C_2m-1 = C .

Stąd wynika, że C jest sumą danego szeregu.

Uwaga. Widzieliśmy, że sumy częściowe rzędu parzystego C_2m dążą do sumy C rosnąc. Pisząc C₂m~2 w postaci

Cim-i = c_t — (c₂—c₃)— ... — (c_2m-₂ — C_2m-i) ,

stwierdzamy łatwo, że sumy częściowe rzędu nieparzystego dążą do C malejąc. Jest więc zawsze

c_2m < C < C_2m-i.

W szczególności można stwierdzić, że

0 < C < c

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
img192 192 Zajmiemy się teraz wyznaczeniem widma gęstości mocy procesu (1.5.1). W tym celu znajdujem
16 3. Generowanie zmiennych losowych I. Ogólne metody Zajmiemy się teraz pytaniem, jak „wyprodukować
Image38 (9) ProgramowanieAlokacja znakówspecjalnych Zajmiemy się teraz elementem, który jest główną
SWScan00081 M8_ KONTRAKTY TERMINOWE f OPCJE M8_ KONTRAKTY TERMINOWE f OPCJE Przykłady Zajmiemy się t
005 2 84. Zeemanowskie widmo EPR atomu i cząsteczki Zajmiemy się teraz niesparowanym elektronem znaj
Zajmiemy się teraz interpretacją geometryczną pewnych pojęć wprowadzonych w teorii liczb zespolonych
Rozdział 4Elementy teorii miary Zajmiemy się teraz całkowaniem funkcji wielu zmiennych. Czytelnik wi
005 2 4.Zeemanowskie widmo EPR atomu i cząsteczki Zajmiemy się teraz niesparowanym elektronem znajdu
[jaźń]01 JAŻS 1 Zajmiemy się teraz problemem, czy wzrost świadomości spowodowany przez wycofanie nic
Szeregi naprzemienne. Kryterium całkowe zbieżności szeregów w badaniu zbieżności całek niewłaściwych
255 § 3. Zbieżność szeregów dowolnych rzecz do badania zbieżności szeregu dodatniego. Jeżeli wyrazy
§ 3. Zbieżność szeregów dowolnych 257 U* -1). Jest tu Ul dla — 1 < x < 1, <2>* = ■ - dla
259 § 3. Zbieżność szeregów dowolnych Niech teraz zbiór {
263 § 3. Zbieżność szeregów dowolnych 3) Rozpatrzmy szereg 2 (-!)■ sin £ dla dowolnego
265 § 3. Zbieżność szeregów dowolnych Łatwo zauważyć, że jeśli czynniki oc, nie rosną i są dodatnie,

więcej podobnych podstron