0020

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Przyjmijmy yx²+» — t—x\weźmy t jako nową zmienną. Podnosząc obustronnie do kwadratu i redukując X¹ otrzymamy

t* — <x 2t

a więc

dx=-£^dt.

21²

Ostatecznie

(13) /-

f fix------_; r^L = Jn |r| + C = ln \x + ^x² + tx\ + C

^{J J} >

(a < X < ff).

[por. 9]

|/(x-a)0»-x)

Podstawmy x — acos²ę>+/?sin²9? (0<<p< gdzie <p jest nową zmienną. Wówczas x— « = (fi—ot) sin² <p, fi—x = (fi—a) cos²y, dx — 2 (fi—<x) sin <p cos <p dq>.

Tak więc

V(x-») <fi-x)

2 jdtp = 2p+C = 2 arc tg |/— +C.

270. Całkowanie przez części. Niech u=f(x) i v = g (x) będą funkcjami x mającymi ciągłe pochodne u' = f'(x) i v' = g'(x). Wówczas na mocy reguł różniczkowania d(uv) = = udv+vdu lub udv — d(uv)-vdu. Funkcją pierwotną wyrażenia d(uv) będzie oczywiście uv, zachodzi więc wzór

(3) f udv == uv— J v du .

Wzór ten wyraża regułę całkowania przez części. Sprowadza on całkowanie wyrażenia udv = uv'dx do całkowania wyrażenia v du = vu'dx.

Obliczmy na przykład całkę x cos x dx. Przyjmujemy

u = x, dv = cos x dx, a więc du = dx, v — sin x (*). na mocy wzoru (3) jest

(4) J x cos xdx = J

x d sin x = x sin x— j sin x dx = x sin x+cos x+C .

Tak więc całkowanie przez części pozwoliło nam zastąpić skomplikowaną funkcję podcałkową x cos x przez prostszą funkcję sin x. Jednocześnie, aby otrzymać v, trzeba było scałkować wyrażenie cos x dx. Stąd bierze się nazwa całkowanie przez części.

Stosując wzór (3) do obliczania danej całki, musimy rozbić wyrażenie podcałkowe na dwa czynniki u i do = v'dx, z których pierwszy różniczkujemy, a drugi całkujemy przy przejściu do całki znajdującej się po prawej stronie. Należy się postarać o to, aby całkowanie różniczki dv nie sprawiało trudności i aby zamiana u na du i do na d prowadziła

(¹) Ponieważ cel, do którego dążymy może być osiągnięty, gdy potrafimy przedstawić cosxdx w postaci do choćby na jeden sposób, nie ma potrzeby pisać dla v najogólniejszego wyrażenia zawierającego stałą dowolną. Należy o tym pamiętać dalej.