0343
345
§ 9. Sumowanie szeregów rozbieżnych
419. Twierdzenie Taubera. Jeżeli szereg (A) jest sumowalny do A metodą Poissona-Abela, to jak widzieliśmy, może on nie mieć sumy w zwykłym sensie. Innymi słowy, z istnienia granicy
00
(5) lim V a, z* = A
*-1-0 —o
nie wynika na ogół zbieżność szeregu (A). Powstaje naturalne pytanie, jakie dodatkowe warunki trzeba nałożyć na wyrazy tego szeregu, aby z (S) można było wnioskować, że szereg (A) jest zbieżny, tzn. że istnieje jego suma A w zwykłym sensie.
Pierwsze twierdzenie w tym kierunku udowodnił A. Tauber; głosi ono:
Niech szereg (1) będzie zbieżny dla 0<x< 11 niech zachodzi równoit (5). Jeżeli wyrazy szeregu (A) są takie, że
(6) lim g|+2a*+ +na" _ O,
•-•OO W
to
£a. = A.
»-o
Dowód rozbijemy na dwie części. Najpierw założymy, że
lim na, = O, czyli
(*)•
Jeżeli oznaczymy
6. = max Ikoil,
to przy n-r oo ó, będzie dążyło do zera monofonicznie malejąc.
Dla dowolnego naturalnego N mamy
a,-A = o„(l -jt*)- £ °-**+ g. x‘-A\ ,
wobec czego
(N+Dd-jc)
Weźmy dowolnie małą liczbę e>0 i przyjmijmy
(1 — x) N = e, czyli x — 1--~,
N
(') Stąd wynika już na mocy znanego twierdzenia Cauchy’ego [33, 13)], że spełniony jest warunek (6), ale nie na odwrót, wobec tego wychodzimy teraz od szczególniejszego założenia niż (6).
(’) Korzystamy przy tym z oczywistych dla 0<jt<l nierówności
l-*" = (l-x)(l+x+x2+ ... +x"-‘) < « (1 —x)
oraz
»-/*+!
v» + l
= -— < \-x
1
\-x '
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Lagrange a Twierdzenie Lagrange’a Jeżeli funkcja/jest ciągła w przedziale [a, b] oraz różniczkowalna
Twierdzenie Pitagorasa • Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat
Rolle a Twierdzenie Rolle’a Jeżeli funkcja/jest ciągła w przedziale [a, b] oraz różniczkowalna w prz
p1020954 (2) Szeregowanie (Scheduling) 3€ Szeregowanie jest kluczem do wieloprogramowania 3« Sz
KŁAD I PODNIESIENIE Z KŁADU PŁASZCZYZNY RZUTUJĄCEJ Jeżeli płaszczyzna a jest prostopadła do rzutni
068 4 3. KOTŁY PAROWE Jeżeli spalanie C jest tylko do CO, czyli jest to spalanie niezupełne, to 1 kg
PRZEDMIOT WYKONANIA i Rzeczy oznaczone co do gatunku Jeżeli dłużnik jest zobowiązany do świadczenia
rys03 LI LM317K Dioda Dl rozładowuje kondensator C2 jeżeli wyjście jest zwarte do masy.Rys.3 Ustawia
Rzuty mongea072 14 Jeżeli płaszczyzna p jest równoległa do kierunku rzutu k (rys. 8), to jej rzutem
slajd42 (8) Prosta prostopadła do płaszczyzny. Jeżeli prosta a jest prostopadła do każdej prostej na
DSC07192 (4) Jeżeli: prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to: odpowiednie rzuty tej prostej są pr
13. Uczeń może być nie klasyfikowany z wychowania fizycznego jeżeli brak jest pods
więcej podobnych podstron