0362

364

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

428. Zbieżność jednostajna i niejednostajna. Przypuśćmy, że równość (2) zachodzi dla wszystkich x z SI'. Z samej definicji granicy wynika: jeżeli tylko ustalimy wartość x z SC (ażeby mieć do czynienia z konkretnym ciągiem liczbowym), to dla dowolnego e > 0 znajdziemy taki wskaźnik N, że dla wszystkich n > N spełniona jest nierówność

(5) |/(x)-/(x)| < c, gdzie przez x rozumiemy właśnie tę ustaloną uprzednio wartość.

Biorąc inną wartość x otrzymamy inny ciąg liczbowy. Dla tego samego e otrzymany wskaźnik N mógłby się okazać nie odpowiedni, musielibyśmy więc zastąpić go większym. Lecz x przebiega nieskończony zbiór wartości, otrzymamy więc również nieskończony zbiór różnych ciągów liczbowych zbieżnych do granicy. Dla każdego z nich z osobna znajdziemy odpowiednie N. Powstaje pytanie: czy istnieje taki wskaźnik N, który (dla danego z góry e) nadawałby się dla wszystkich ciągów jednocześnie?

Pokażemy na przykładach, że w pewnych przypadkach taki wskaźnik N istnieje, w innych zaś nie.

1) Niech najpierw

/„W =

1 + n²x² ’

lim /„(x) = 0 (0<x<l).

n—w

Ponieważ

0 </_n(x)

1 2nx 1 lń ’ l + n²x² ^ 2iT^;

widzimy od razu, że na to by nierówność f„(x) < e była spełniona dla dowolnego x wystarczy przyjąć n > l/2e. Tak więc na przykład liczba N = E (l/2e) w tym przypadku nadaje się dla wszystkich x jednocześnie.

2) Niech będzie teraz [427, 3]:

/»(*) ⁼ i ,"rr > ^lim/»(*) = ⁰ (0 < x < 1).

li Tl X n-»oo

Dla dowolnego ustalonego x > 0 wystarczy przyjąć n > E( 1/xe), żeby zachodziła nierówność f,(x) < \jnx < e. Z drugiej jednak strony, jakiekolwiek weźmiemy n, zawsze znajdziemy w przedziale <0, 1) taki punkt, a mianowicie x = 1 /«, w którym funkcja f„(x) przyjmuje wartość y [tzn. /,(Ifn) = y]-

Tak więc za cenę zwiększenia n w żaden sposób nie możemy osiągnąć tego, by/„(x) < y dla wszystkich wartości x od 0 do 1 naraz. Innymi słowy już dla e = y nie istnieje taki wskaźnik N, który nadawałby się dla wszystkich x jednocześnie.

Na rysunku 59 pokazane są wykresy tych funkcji dla n = 4 i dla n = 40: charakterystyczny jest garb o wysokości y przesuwający się ze wzrostem n w lewo. Chociaż na każdej prostej pionowej z osobna, punkty ciągu krzywych wraz ze wzrostem n zbliżają się nieogra-niczenie do osi x, żadna krzywa w całości nie przywiera do tej osi na całym odcinku od x = 0 do x — 1.