528

XIII. Całki niewłaściwe

ou

-J

sin x

dx

Wiemy już, że jest ona zbieżna [476, 477, 489, 3)]. Przedstawmy tę całkę w postaci sumy szeregu

00    (r+l).7T/i

/

v-0    »-n/2

Przyjmując v = 2/i lub 2/i—1 i stosując odpowiednio podstawienia x = fin+t lub x = = im -1, otrzymujemy

<2/*+t)-77/2    77/2

2/7-77/2

sin t

/m + f

dt

oraz

2 Al-71/2    n/2

/ -(->-/

(2/i-1)-TT, 2

Stąd

Ponieważ szereg

sin t

i    1    ⁰⁰    1

jest w przedziale 0 < t < y rc zbieżny jednostajnie, gdyż jego majoranta — £ ——

jest zbieżna, możemy go całkować wyraz za wyrazem. Mamy teraz prawo napisać wyrażenie na / w postaci

n/2    p. ,    co

7t T H²-i

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest jednak rozwinięciem funkcji —— na ułamki

sin t

proste [441, 9)]. Tak więc mamy ostatecznie

77/2

I = J dt =-j- 7t.

o

Przeprowadzone tu eleganckie rachunki pochodzą od Łobaczewskiego, który pierwszy zwrócił uwagę na nieścisłość metody, za pomocą której obliczano tę ważną całkę dawniej.