0554

XIII. Całki niewłaściwe

Łatwo można zauważyć, że gdy x -► 0, funkcja podcałkowa dąży do 0, a więc funkcję tę można uważać za ciągłą w całym przedziale całkowania, lecz już pierwsza pochodna funkcji podcałkowej jest w punkcie x =» 0 nieskończona. Korzystając z rozwinięcia logarytmu przedstawimy naszą funkcję w postaci sumy dwóch funkcji

■)

Całkę z pierwszej funkcji można łatwo obliczyć: wartość jej wynosi —0,20528... Całkę z drugiej funkcji (która ma już cztery pochodne ciągłe) obliczamy według wzo.ru Simpsona (2n = 10, pięć cyfr po przecinku). Otrzymamy —0,00348, a więc wynik ostateczny wynosi —0,20876.

Ponieważ |ęj^<4)(*)|<36 więc |R| <0,00002. Ostatecznie

i/| — 0,20876_±o,00003 — 0,2087+o,oooi ■

(W rzeczywistości wszystkie otrzymane cyfry tej wartości przybliżonej są dokładne, ponieważ prawdziwa wartość I wynosi —0,2087618...).

Ciekawe, że gdy wzór Simpsona (dla tej samej wartości 2n = 10 i obliczając tak samo do pięciu cyfr po przecinku) zastosujemy do funkcji podcałkowej bez uprzedniego wydzielenia osobliwości, otrzymamy /« —0,2080, tzn. otrzymamy tylko trzy dokładne cyfry po przecinku.

Tak więc, jeżeli nie skorzystamy z wydzielenia osobliwości, to nie tylko będziemy mieli trudności z oszacowaniem błędu, lecz możemy nawet faktycznie uzyskać mniejszą dokładność wyniku.

501. Przybliżone obliczanie całek niewłaściwych w przedziale nieskończonym. Rzadko udaje się obli-

+•    A

czyć całkę ff(x) dx na podstawie jej definicji jako granicę całki właściwej /f(x) dx przyjmując w przybli-

•    a

4 oo A

żeniu dla dostatecznie dużego A, że / « / i obliczając znanymi metodami tę ostatnią całkę. Może się to

a a

okazać korzystne tylko wtedy, gdy funkcja podcałkowa szybko maleje wraz ze wzrostem x, tzn, wtedy, gdy nawet przy niedużym A podana poprzednio przybliżona równość jest już wystarczająco dokładna.

<0 ₂

1) Tak będzie na przykład w przypadku całki / « J e~^x dx.

o

Z nierówności x² > 2Ax—A² wynika, że

e~^xl<e^Al ■ e~^IAx

oraz

J e~**dx < e^A* • f e~^2Axdx =—1—e~^A*.

A    A    ^2A

Dla A = 3 jest

00

(' e~^xldx < 0,00002 .

3

3

Całkę J e~'²dx obliczamy według wzoru Simpsona biorąc n = 30 i uwzględniając w obliczeniach o

pięć cyfr po przecinku. Otrzymujemy 0,88621. Łatwo otrzymujemy oszacowanie !(<?-*⁵)^<4>|<12, |J?|< <2-10^-5. Ogólny błąd zawarty jest między —0,00004 i 0,00006. A więc

0,88617 < / < 0,88627,    / = 0,8862_±o ,0001 •

Jak wiemy [492, 2°], dokładna wartość I wynosi ]/7t/2 = 0,886226...

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
IMG153 153 I, - 2 . 34,5 .    - 57,8 A Łatwo można zauważyć, że wartość skuteczna pre
500 XIII. Całki niewłaściwe Przyjmijmy (dla uproszczenia), że takie punkty są trzy, przy czym dwa
502 XIII. Całki niewłaściwe Rzeczywiście, przypuśćmy, że takiego punktu nie ma. Dla każdego punktu x
SIO XIII. Całki niewłaściwe 484. Wartości główne całek niewłaściwych. Przypuśćmy, że w
520 XIII. Całki niewłaściwe Gdy zastąpimy tu cos2 x przez 1—sin2*, łatwo otrzymamy wzór
528 XIII. Całki niewłaściwe 3° Rozpatrzmy wreszcie całkę ou-J sin x dx Wiemy już, że jest ona
548 XIII. Całki niewłaściwe Przy obliczeniu tej ostatniej całki wygodnie jest skorzystać ze znanego
img037 (6) 127 - 127 - 0. >0 (9) Można zauważyć, że dla przebiegów sinusoidalnych pomiędzy wymien
SNV36497 mas drui Arthur Waite. mason "Można zauważyć, że kiedy przechodzi się z jednego stopni
img037 (6) 127 - 127 - 0. >0 (9) Można zauważyć, że dla przebiegów sinusoidalnych pomiędzy wymien
img148 148 S2 * x2 (1 ♦ al - 2 ctx fj) Łatwo można sprawdzić, że błąd predykcji przyjmuje minimalną
Dla wszystkich całek można zauważyć, że wraz ze wzrostem n (liczby losowanych punktów),
Na podstawie przedstawionych parametrów można zauważyć, że opracowany kalibrator C405 ma lepszą
14,15 zm Jeśli obsługa maszyny jest niewłaściwa, łatwo można spowodować wciągnięcie nici w prowadnic
Ewaluacja jakości kształcenia Analityka medyczna - studia podyplomowe wysokie. Można zauważyć, że

więcej podobnych podstron