0604

XIV. Całki zależne od parametru

przy czym w skończonym przedziale zbieżność jest jednostąjna. Dalej, mąjorantą może być funkcja

jeżeli weźmiemy m₀>h i ograniczymy się do m>m₀. Pozostaje powołać się na twierdzenie 1 z ustępu 518.

12) Następujący przykład podkreśla, że w zadaniach 10) i 11) konieczne było sprawdzenie, czy przejście graniczne jest dopuszczalne. Teraz analogiczny sposób przejścia do granicy nie będzie uzasadniony, a wynik jego okaże się fałszywy.

Rozpatrzmy całkę

Jeżeli przy n -*■ » postąpimy z tą całką tak samo jak w poprzednich przykładach, to otrzymamy

00

lim /, ■= j 0 dx = 0 . o

W rzeczywistości zaś, jak łatwo się przekonać podstawiając x — nt, całka /„ ma wartość stałą, równą ir/41. Podamy jeszcze dwa nieszablonowe przykłady, interesujące jak się przekonamy z innych jeszcze powodów. 13) Obliczyć całkę

00

/= J e*'“*sin (a sin *) —,

O

gdzie a jest dowolną liczbą [por. 478, 8) (a)], przyjmując za znaną całkę

f Jim </,= *-

J t 2

o

[por. 492, 3°; 494, 5)].

Wygodnie będzie wprowadzić tu zmienną zespoloną

z »■ a (cos *+/ sin x).

Wówczas [457, (6)] funkcja

e¹ = «•“** [cos (a sin *)+/ sin (a sin .t)]

rozwija się w szereg

Przyrównując części urojone otrzymujemy rozwinięcie w szereg pierwszego czynnika iloczynu występującego pod całką

CO

' sin (a sin *) =■ > — sinnx. Z_i n\

Zatem

dx.

x

0 n- 1

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
600 XIV. Całki zależne od parametru Wobec tego całka z tej sumy jest zbieżna jednostajnie w punktach
616 XIV. Całki zależne od parametru 2 n obu stronach równości (19) do granicy przy    
564 XIV. Całki zależne od parametru Konieczność. Jeżeli /(x, y) dąży jednostajnie do <p (x), to d
566 XIV. Całki zależne od parametru równość (4). Ustalmy wartości y i y spełniające warunki (5), a
568 XIV. Całki zależne od parametru Na przykład, nie oblicząjąc całek J In (x2+y2)dx, O widzimy od
570 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić te wyniki obliczając bezpośrednio
572 XIV. Całki zależne od parametru podczas gdy / dxffdy- - iir. 0 o 509. Przypadek gdy granice całk
574 XIV. Całki zależne od parametru niewłaściwym) w przedziale <a, bj. W ten sposób można wyłożon
576 XIV. Całki zależne od parametru można znalezione wyrażenie dla / napisać w postaci /= V(-1)*
578 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić, że założenia twierdzenia 3 są tu spełnione
580 XIV. Całki zależne od parametru Oczywiście wystarczy sprawdzić, że każda z tych funkcji z osobna
582 XIV. Całki zależne od parametru Ponieważ /„(<?) = 0, więc X /« + iU)=
584 XIV. Całki zależne od parametru 18) Podamy jeszcze przykłady całek, w których nie można zmienić
586 XIV. Całki zależne od parametru§ 2. Zbieżność jednostajna całek 513. Definicja całki zbieżnej
588 XIV. Całki zależne od parametru 515. Warunki dostateczne zbieżności jednostajnej. Podamy teraz p
590 XIV. Całki zależne od parametru 516. Drugi przypadek zbieżności jednostajnej. Rozpatrzmy teraz
592 XIV. Całki zależne od parametru 3) Dowieść bezpośrednio, że całkaf Are-"^dx J v3 dla
594 XIV. Całki zależne od parametru 12) Wykazać to samo dla całki f 8jc3yJ (x* -8 xy3 dx. Tutąj
596 XIV. Całki zależne od parametru n-* co dąży jednostajnie do <p(x) = 0 w całym przedziale <

więcej podobnych podstron