0631

§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej cdek

Aby zbadać zbieżność całki wewnętrznej, rozważmy całkę

— f — [2 cos (x sin 0)—cos (a+sin 0) x—cos |o—sin 0| z] =»

2 J x

A

4W 4'(*+lil9)

W / - / -, /, ]***-

A» lw$    4<«łiial) 4|<-lltf|

4(«+ti*9)    4^#(«+Sia9)    a4|«-»l«0|    4'|«-«Ib0|

II / - / ⁺ / - / ]*?*■

4iii0    4'ilo0    4iia^    4'iiaf

/COS z

-d: (r_o>0) istnieje, więc dla dostatecznie dużych A i A 'napisana suma jest oczy

*o ^z

wiście dowolnie mała dla wszystkich wartości 0 z dowolnego przedziału domkniętego nie zawierającego ani punktu O, ani arc sin a (jeżeli a<l). Tym samym zbieżność całki wewnętrznej przy A -*■ oo przestaje być jednostajna jedynie w pobliżu tych wartości 0. Z drugiej jednak strony, ta całka wewnętrzna ma majo-rantę w postaci funkcji [ln j/|o²—sin²0| — ln sin 0] całkowalnej w przedziale <0, tr/2>; oznacza to, że całka zewnętrzna jest zbieżna jednostajnie zarówno dla 0 — 0, jak i dla 0 = arc sin a (dla a<l). Zatem zgodnie z twierdzeniem 1' z ustępu 518, potrzebne nam przejście graniczne jest dozwolone.

7) Różniczkując względem parametru całkę D z poprzedniego zadania otrzymujemy całkę

Uzasadnienie przebiega podobnie jak w przykładzie 5) w oparciu o wzór (21). Dla a = 1 całka jest rozbieżna.

8) (a) Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, czy wolno zmienić kolejność całkowania w następującej całce:

f dyf

J J (*²+y²)²

i    i

Obliczamy:

f y¹-*²

J (*²+y²)²

x_l*"“

x²+y² Ui

1

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
597 § 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek Na podstawie uogólnionego twierdzenia Diniego
§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek 599 więc majorantą jest po prostu stała i całka sum
601 § 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek Przy tym w obu zadaniachimożna przyjąć za znaną
§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek 603 jest zatem ostatecznie h A 4k 8) Obliczyć
605 § 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek a więc dla 0<x</»-y7t jest Nierówność
607 § 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek Gdyby tu wolno było całkować wyraz za wyrazem,
609 § 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek (b) Inna interesująca funkcja — funkcja Bessela
611 § 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek jest zbieżna jednostajnie względem y w tym samy
613 § 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek wej strony można przejść do granicy przy A -* o
615 § 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek 522. Zastosowanie do obliczania niektórych całe
617 § 3. Wykorzystanie zbieżności jednostąjnej całek jest zbieżna jednostajnie względem a, ponieważ
§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek 619 zatem ,_ 00 0° y = J    J
621 S 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej odek 2) Za pomocą różniczkowania względem parametru
623 $ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek 5) (a) Obliczyć całkę J * J e~*2 cos 2bx
625 § 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej caiek Można je scałkować w zwykły sposób rozdzielając
$ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek627 istnienie i ciągłość całek dla wszystkich
629 § 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej caiek 524. Przykłady całkowania pod znakiem całki. 1)
i 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek 631 4) Obliczyć całkę B sin ax /oto dx (a >
§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek 635 Ponieważ l+x więc podstawiając tę całkę za

więcej podobnych podstron