0654
656
XIV. Całki zależne od parametru
3) Obliczyć całki
(a) f ......XT:' dx {a, b,p> 0),
J (x+p)'+b
o
Wskazówki, (a) Podstawienie y — (l+/>)
(b) j
(l+x2)m+’
dx
x 1
—■—. (b) Podstawienie u — — > x+p 2
(w, n > 0).
(1+Jc)2 l+x2 '
Odpowiedź, (a) '1 T R (g, 6); (b) 2"^"-2 B (m, //).
Stąd można otrzymać z kolei wiele interesujących całek. Na przykład w (b) przyjmiemy n = 1 — m, 2/h— 1 = cos 2a i podstawimy x tg <p, to otrzymamy
cos g»+sin q> cos <p—sin <p
^cos 2«
dtp =
_7t_
2 sin (n cos2a)
4) Obliczyć całki n/2
(a) J sin*-,ę) cos*-1? dtp (a, b > 0);
o
tt(z nu
(b) | sin*-*y = J cos*~,gptfę> (a > 0);
o o
It/2
(c) f tgc<pdq> (|cl < 1) .
Rozwiązanie, (a) Podstawiając .v = sin tp sprowadzimy tę całkę do całki
korzystając teraz z zadania 1) dostaniemy
7%in*-Vcos»-V</*-J-WiL.l.) ,-L. i 2 U’ 2/ 2 r^n±6j
(b) W szczególności, dla b = 1, otrzymamy stąd
n/i
f sin‘~'<pd<p
GL
- r(*±L)
Stosując wzór Legendre’a można przepisać ten wynik w postaci
J sin*-'<p dtp = 2'
-2 ^ ( 2 )1 = 2.-iB (±
r(a) \2’2/
(’) Łatwo jest sprawdzić, że w tym wzorze jako szczególne przypadki zawarte są obydwa wzory (8) z ustępu 312.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
622 XIV. Całki zależne od parametru 4) Obliczyć całki(a) /,- / CO>Q. 0(b) ^=
648 XIV. Odki zależne od parametru Pomnóżmy teraz obie strony tej równości przez ta 1 i scałkujmy wz
568 XIV. Całki zależne od parametru Na przykład, nie oblicząjąc całek J In (x2+y2)dx, O widzimy od
570 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić te wyniki obliczając bezpośrednio
602 XIV. Całki zależne od parametru Pozostaje obliczyć całkę f e~x2x1 ,dx — /„. Całkując przez
676 XIV. Całki zależne od parametru 7) Znalezione całki u i v pozwolą nam obliczyć inne ciekawe całk
564 XIV. Całki zależne od parametru Konieczność. Jeżeli /(x, y) dąży jednostajnie do <p (x), to d
566 XIV. Całki zależne od parametru równość (4). Ustalmy wartości y i y spełniające warunki (5), a
572 XIV. Całki zależne od parametru podczas gdy / dxffdy- - iir. 0 o 509. Przypadek gdy granice całk
574 XIV. Całki zależne od parametru niewłaściwym) w przedziale <a, bj. W ten sposób można wyłożon
576 XIV. Całki zależne od parametru można znalezione wyrażenie dla / napisać w postaci /= V(-1)*
578 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić, że założenia twierdzenia 3 są tu spełnione
580 XIV. Całki zależne od parametru Oczywiście wystarczy sprawdzić, że każda z tych funkcji z osobna
582 XIV. Całki zależne od parametru Ponieważ /„(<?) = 0, więc X /« + iU)=
584 XIV. Całki zależne od parametru 18) Podamy jeszcze przykłady całek, w których nie można zmienić
586 XIV. Całki zależne od parametru§ 2. Zbieżność jednostajna całek 513. Definicja całki zbieżnej
588 XIV. Całki zależne od parametru 515. Warunki dostateczne zbieżności jednostajnej. Podamy teraz p
590 XIV. Całki zależne od parametru 516. Drugi przypadek zbieżności jednostajnej. Rozpatrzmy teraz
592 XIV. Całki zależne od parametru 3) Dowieść bezpośrednio, że całkaf Are-"^dx J v3 dla
więcej podobnych podstron