0046

0046



48


VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

ści). Każda taka prosta przecina krzywą w drugim punkcie (x, y), którego współrzędne są funkcjami wymiernymi zmiennej t. Stąd bierze się podstawienie:

|/ax2 + bx + c = t± ]/a x .

283. Przykłady. Znamy już dwie całki podstawowe [269, 9) i 12); 268]:

f dx — ln\x+y/x2i:a2 [+C. f— dx = arcsin —+ C.

J yX2±a2    J ]/a2-x2    «

należące do całek rozpatrywanego typu. Wychodząc z nich można obliczyć także inne całki. f dx

1) J '-^====-. Przy obliczaniu tej całki będziemy rozróżniali dwa przypadki: <x>0 i a<0. Jeśli a>0, to całkę można łatwo przekształcić w jedną z całek podstawowych (przy p/x = ±a2)

dx


1


V*


ln


*+


+c.


Można pomnożyć jeszcze argument logarytmu przez ot, przez co wprowadzimy dodatkowy składnik 1

—j=-Ina; odbije się to więc tylko na C. Otrzymamy ostatecznie V*

(6)


/


dx


}/a,x2+P ]/tx


= —^|<xx+j/a (otx2+p) | + C' (« > 0) .


Jeśli zaś «<0, a więc a = —1*|, pierwiastek napiszemy w postaci ]//?— |a|*J. Na to, by pierwiastek ten mógł mieć w ogóle wartości rzeczywiste, trzeba założyć, że /?> 0. Całka przekształca się w drugą całkę podstawową (przy PI|a| = a2) i

(7)


l^arcsin (l/W-*)+C (« J i/<x*2+0    |/|*|    \r P )


:« < o).


Wiele innych całek sprowadza się za pomocą elementarnych chwytów do całek (6) i (7). Na przykład 2)Jj/ax2 + p dx całkuje się przez części:

■ dx =


f y'ax2+/3 dx = x\/otx2+p — f xd\/<xx2+P — x\ftxx2+f} - f— ax -J    J    J yax2+f}

dx y<x x2+p


= x \/ax2+P — f (ajg    dx — x \/<xx2+P — f \/otx2+fl dx+f) f dx

J \/«x2+p    J    J

Po prawej stronie otrzymujemy znowu szukaną całkę. Przenosząc ją na lewo i dzieląc obie strony równości przez 2 otrzymamy

(8)


f \'otx2+P dx = -i-* \f»x2+P + -\p f — 2    2 J yt


dx


<xx2+p


Aby otrzymać ostateczny wynik, trzeba wyrazić ostatnią całkę ze wzoru (6) lub (7) w zależności od tego czy «>0, czy też at<0.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
86608 P1111271 48 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona ) Każda taka. prosta przecina krzywą w
21923 P1111252 10 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Jeśli konkretnie dana funkcja ma punk
71760 P1111253 12 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) III. Jeśli to J f(ax+b) dx *= — F (ax
P1111275 56 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Dla obliczenia całki 56 VIII. Funkcja pierw
19763 P1111255 16 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Przypuśćmy, że trzeba obliczyć całkę
26916 P1111263 32 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) ków A, M, N. Ponieważ liczniki grupy

więcej podobnych podstron