0079
81
§ 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej
Przy nieograniczonym zmniejszania się wszystkich Axt błąd w tej równości zmierza do zera. Dokładne pole P otrzymujemy jako granicę
(2) P — lim ^ yt Axt — lim VV(xt) Ax,.
przy zwożeniu, że wielkości Ax, dążą do zera jednocześnie.
Ten sam sposób można zastosować do obliczenia pola P (x) figury AMND (rys. 2), ale w tym przypadku należałoby dzielić na części odcinek AM. Zauważymy jeszcze, że przypadek, kiedy funkcja y —f(x) przyjmuje również i ujemne wartości, jest rozstrzygnięty dzięki uwadze zawartej w ustępie 264, że pole części figury znajdującej się pod osią x uważamy za ujemne.
Dla oznaczenia sumy postaci "ZyAx (a dokładniej mówiąc — granicy tej sumy) Leibniz wprowadził symbol fydx, gdzie y dx przypomina typowy składnik sumy, a znak J jest wystylizowaną literą S — pierwszą literą łacińskiego słowa summa (*).
Ponieważ pole, otrzymane jako wartość graniczna, okazuje się jednocześnie funkcją pierwotną funkcji y, więc również dla oznaczenia funkcji pierwotnej zachował się ten sam symbol. W konsekwencji po wprowadzeniu oznaczenia funkcyjnego pisano
J /(*) dx
w przypadku pola zmiennego, i
f f(x) dx
a
w przypadku pola ustalonej figury ABCD, odpowiadającej przebiegowi zmiennej x od a do b.
Posłużyliśmy się intuicyjnym przedstawieniem zadania znajdowania pola po to, żeby w sposób naturalny podejść do rozpatrywania granic sum specjalnych postaci (2) (które, historycznie rzecz biorąc, były wprowadzone właśnie w związku z zadaniem obliczania pola). Jednakże samo pojęcie pola wymaga sprecyzowania, i — jeśli chodzi o trapezy krzywoliniowe — to można to osiągnąć właśnie za pomocą wspomnianych granic. Rozumie się, że najpierw należy zbadać same granice (2), abstrahując od ich znaczenia geometrycznego. Temu właśnie poświęcimy niniejszy rozdział.
Granice postaci (2) odgrywają szczególnie ważną rolę w analizie matematycznej i w rozmaitych jej zastosowaniach. Dlatego też rozwinięte tu idee w różnych wariantach będą się niejednokrotnie powtarzały w całej książce.
295. Definicja. Niech będzie dana funkcja f(x) określona w pewnym przedziale <a, ó>. Rozbijamy ten przedział w dowolny sposób na części, wstawiając pomiędzy a i b punkty
podziału (1). Największą z różnic Ax, — x,+1—xl (i = 0, 1, 2.....n-1) w dalszym ciągu
będziemy oznaczali przez A.
(‘) Polski termin całka wprowadził Jan Śniadecki jako odpowiednik terminu integral (od łacińskiego integer — całkowity) wprowadzonego przez ucznia i współpracownika Leibniza Jana Bernoulliego. Leibniz mówił początkowo „summa” (przyp. tłumacza).
6 Bachunek różniczkowy
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
89 $ 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej ponieważ zaś ostatnia suma dąży do zera (przy
ROZDZIAŁ IXCAŁKA OZNACZONA§ 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej 294. Inne podejkie do
83 § 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej Podstawimy sobie teraz za zadanie znalezienie
85 § 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej występujące w obu poprzednich podziałach. Tem
87 § 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej 298. Klasy funkcji całkowalnych. Zastosujemy
91 § 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej Konieczność tego warunku wynika z
całki z funkcji wymiernej dotyczące obliczania całki oznaczonej przy pomocy
IMAG1312 Definicje i założenia empowerment Empowerment oznacza dosłownie z ang. „staje się potężnym”
210(1) Szereg może być zbieżny tylko wtedy, gdy ogólny wyraz a„ szeregu przy nieograniczonym powięks
Definiując warunki brzegowe należy pamiętać, że zostaną one przypisane wszystkim odcinkom następując
DSC00500 (12) i zachodzi on przy jsdnoczeaiym zmniejszeniu się energii potencjalnej cUmtm ,
F0 - siła oporu powietrza, Przy wznoszeniu zmniejsza się. W powyższym wzorze jedynie ciężar można pr
DSC00080 grupa W SEMESTR 2. EGZAMIN (28.06.2010) falę
Zestaw 12 i 1. Wykorzystując definicję całki oznaczonej obliczyć J sin xdx. Wsk. Skorzystać ze wzoru
więcej podobnych podstron