Ebook8

GO Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji

Definicja 3.2. (Heine) Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w punkcie x<), jeżeli dla każdego ciągu (x„) o wyrazach x„ G S, zbieżnego do x’o, ciąg (/(a:,,)) wartości funkcji jest zbieżny do g.

W tej definicji zamiast słowa „liczba" można wstawić „element g G R" i wtedy otrzymujemy zarówno definicję granicy właściwej funkcji f w punkcie (g G R), jak i definicję granicy niewłaściwej funkcji / w punkcie xo {g = — oo lub g — -foo).

Definicja 3.3. (Cauchy) Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w punkcie jeżeli dla każdego £ > 0 istnieje takie 6 > 0. że dla każdego x spełniającego nierówność 0 < |x — x<j| < ó jest spełniona nierówność | f(x) — g\ < e, czyli lim f{x) = g <=> V_c>„ 3_S>0 V_l€$ (0 < \x - x₀| < fi => \f{x) - g\ < e).

X—Xo

Definicje 3.2 i 3.3 są równoważne.

PRZYKŁAD 1. Wykazać na podstawie definicji a) Heinego, l>) Cauchy ^łego,

ROZWIĄZANIE.

Dziedziną funkcji f(x) = ²jest zbiór D = R\{2), zatem 2 jest punktem skupienia zbioru D.

a) Pokażemy, że dla każdego ciągu (x„), gdzie lim x„ = 2 i x_n ^ 2 dla

n-*oo

każdego n G N, odpowiedni ciąg wartości funkcji (/(x„)) jest zbieżny do 3. Niech (x„) będzie dowolnym ciągiem spełniającym powyższe założenia. Tworzymy ciąg (/(x„)) o wyrazie ogólnym

Zatem

lim /(x„) = lim (2x_fl - 1) = 2 • 2 - 1 = 3.

n—»oo    n—oo

li) Pokażemy, że dla każdego £ > 0 istnieje takie fi > 0, że dla każdego x / sąsiedztwa punktu xq — 2 i spełniającego nierówność 0 < |® — 2| < <5 jest npelniona nierówność |/(.t) - 3| < c.

Zauważmy, że

|2a? - 1 - 3| = |2(ar - 2)| = 2 |ar - 2| < 2(5.

Przyjmując fi — %< otrzymujemy, że dla każdego x z sąsie< i un) tu (To 2 i spełniającego warunek 0 < \x - 2| < d> jest spełniona nierówno-..

| f(x) - 3| < £. Zatem

Uwaga 3.1. Niech funkcja / będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S punktu ;ro.

Jeżeli istnieją ciągi (^x₇^, spełniające warunki:

1)    lim x_n = xo, przy czym x_u ^ Xo dla każdego n € N,

n—oo

2)    lim x_7l = xo, przy czym x”_t / a?o dla każdego u (E N,

n—*cxj

3)    lim / (®ń) / lim / (z",),

n-»oo \ /    n—*oo \ /

lo granica lim f[x) (właściwa ani niewłaściwa) nie istnieje.

J —x₀

PRZYKŁAD 2. Wykazać, że funkcja f(x) ¹—r nic ma granicy w punkcie

3+e*

*0 = b.

ROZWIĄZANIE.

Zgodnie z Uwagą 3.1 wystarczy wskazać dwa ciągi faą,) ' (^;Cł') ^zbi^e*^ne do

0    i mające wyrazy różne od 0 dla każdego u € N takie, że odpowiadające im ciągi wartości (/ (^n)) > (/ (^ń)) me są zbieżne do tej samej granicy, Niech x_n = J oraz x"_x = — J dla u € N. Dla każdego n € N mamy a:,, / 0

1    x" / 0. Ponadto lim x_n = 0 oraz lim x' = 0. Wtedy

n—♦ OO    ti — nn

/ (*'„) = 0,

1

-2 lim -r — lim -—

n~*oo ą. _tA/^xn n-*oo 3 -f c”

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
matma (5) • Definicja Heine’go Liczbę a nazywamy dranica funkcji y = f(x) WYKŁAD 2 w punkcie Xq
Rozdział 4Granice i ciągłość funkcji 1.    Podaj definicje Heinego i Cauchy’ego grani
Ebook3 76 Rozdział 3. Granica t ciągłość funkcji c) Ponieważ lim tg3x = 0, więc korzystamy z równoś
Ebook6 82 Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji 82 Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji f(x) x —
Ebook7 84 Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji oraz f(~)=asin(-^)+b=-a + b. Aby funkcja / była ci
Ebook8 86 Rozdział 3. Granica i ciągłość funkc ji w przedziale ( — 1,0). Funkcje 4J i — ar są rosną
Ebook0 90 Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji a)    31 4- 51 =
Ebook1 92 Rozdział Rachunek różniczkowy i jr9(> zastosowania f w punkcie xo nazywamy granicę wła
PB032261 129 Granica ciągu liczbowego DEFINICJA 2.12 Liczbę O nazywamy granicą ciągu (a„) wtedy i ty
29603 Scan0004 (5) Rozdział 1Funktory i formuły1.1 Zdanie Definicja 1.1 Zdaniem w matematyce nazywam
PB032261 129 Granica ciągu liczbowego DEFINICJA 2.12 Liczbę O nazywamy granicą ciągu (a„) wtedy i ty
PB032261 129 Granica ciągu liczbowego DEFINICJA 2.12 Liczbę O nazywamy granicą ciągu (a„) wtedy i ty
skanuj0002 GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Zad.l. Korzystając z definicji granicy funkcji uzasadnić: a)

więcej podobnych podstron